Procesos isentrópicos

Question

Me cuesta entender por qué los procesos adiabáticos reversibles son isentrópicos.

Entiendo que en un proceso adiabático reversible no hay intercambio de calor y por tanto $dQ = TdS = 0.$ Sin embargo, si tengo un gas ideal aislado térmicamente en un pistón, y comprimo reversiblemente el gas, aunque no haya intercambio de calor (el proceso es reversible y adiabático), ¡he aumentado la temperatura del gas! ¿No significa eso que he aumentado su entropía?

Se me ocurre que la disminución del volumen probablemente coincide exactamente con el aumento de la temperatura en términos de cambios de entropía, de modo que el cambio total de entropía es $0.$ Pero aún así, si intento hacer algunos cálculos, me quedo atascado. Digamos que cambio el volumen de $V_1$ a $V_2$ mediante la compresión reversible del pistón. ¿No estoy cambiando la presión y la temperatura simultáneamente al hacer eso? ¿Cómo integro aquí la ley de los gases ideales?

Answer 1

La respuesta corta es que tienes razón: el cambio de entropía debido a la disminución del volumen anula el cambio de entropía debido al aumento de la temperatura. Pero también tienes razón en que esto implica un cambio simultáneo en $p$ y $T$ y estaría bien saber en qué medida cambia cada uno de ellos. A continuación he hecho el cálculo. Ha sido un poco más complicado de lo que esperaba, ¡y espero no haber cometido ningún error!

Para realizar este cálculo, primero debemos tener en cuenta que la ley de los gases ideales, $$pV=nRT,\tag{i}$$ nos dice cómo se relacionan la presión, el volumen y la temperatura, pero si quieres hacer cálculos reales, también necesitas saber cómo la energía interna $U$ se comporta. Esto viene dado por $$U =n\; c_V T,\tag{ii}$$ donde $c_V$ es la capacidad calorífica adimensional a volumen constante. (Algunas personas definirán un gas ideal de tal manera que $c_V$ puede ser una función de $U$ pero aquí asumiré que es constante. Con una buena aproximación, $c_V=\frac{3}{2} R$ para un gas monatómico, o $\frac{5}{2} R$ para una diatómica). Ecuación $(\mathrm{ii})$ no puede derivarse de la ecuación $(\mathrm{i})$ por lo que ambos son necesarios para definir las propiedades de un gas ideal.

Teniendo esto en cuenta, empecemos con la ecuación fundamental de la termodinámica (para sistemas sin reacciones químicas): $$dU = TdS - pdV.$$ Como estamos considerando un proceso adiabático sabemos que $TdS = 0$ Así que $$dU = -pdV = - \frac{nRT}{V} dV,$$ donde la segunda igualdad se obtiene sustituyendo la ley de los gases ideales $(\mathrm{i})$ . Pero también sabemos por la ecuación de la capacidad calorífica $(\mathrm{ii})$ que $nT = U/c_V$ . Esto nos da $$dU = - \frac{U\;R}{c_VV} dV,$$ o $$c_V\frac{1}{U}dU = - R\frac{1}{V} dV.$$ Ahora podemos integrar ambos lados: $$c_V \int_{U_1}^{U_2} \frac{1}{U}dU = -R\int_{V_1}^{V_2} \frac{1}{V}dV,$$ o $$c_V\left( \ln U_2 - \ln U_1 \right) =R \left( \ln V_1 - \ln V_2 \right).$$ Es necesario hacer una breve nota sobre la interpretación. Estamos integrando ambos lados en diferentes rangos ( $U_1$ a $U_2$ y $V_1$ a $V_2$ ) y luego los iguala. Esto se debe a que queremos saber cuánto cambiará la energía interna si cambiamos reversiblemente el volumen en una cierta cantidad, por lo que buscamos $U_2$ y $U_1$ en función de $V_1$ y $V_2$ . De todos modos, ahora podemos utilizar algunas identidades de logaritmos para obtener $$c_V \ln \frac{U_2}{U_1} = R\ln \frac{V_1}{V_2}$$ o $$\ln \left(\frac{U_2}{U_1}\right)^{c_V} = \ln \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^R,$$ así que $$\left(\frac{U_2}{U_1}\right)^{c_V} = \left(\frac{V_1}{V_2}\right)^{R},$$ o $$V_1^{R} U_1^{c_V} = V_2 ^{R} U_2^{c_V}.$$ Esto significa que, para un proceso reversible, la cantidad $VU^{c_V}$ debe permanecer constante. Ahora, finalmente, podemos sustituir $U$ de la ecuación $(\mathrm{ii})$ para conseguir $$V^R(c_VnT)^{c_V} = \text{constant for an adiabatic process.}$$ Hay un factor de $(c_Vn)^{c_V}$ que podemos ignorar incorporándolo a la constante del lado derecho, por lo que $$V^RT^{c_V} = \text{constant for an adiabatic process,}$$ o $$V_1^R T_1^{c_V} = V_2^R T_2^{c_V}.$$

Dados los valores de $V_1$ , $V_2$ y $T_1$ puedes utilizarlo para calcular $T_2$ . Sustituyendo en $(\mathrm{i})$ también puedes calcular el cambio de presión.