Siéntase libre de saltar todo el texto y leer sólo las ecuaciones. =). (No me gusta prolijo libros). Los textos son explicaciones para las ecuaciones. También he utilizado SI en lugar de CGS (también me disgusta CGS).
Quieres una prueba de que los dos imanes se ejecuta la fuerza sobre la otra. Un imán puede ser interpretado por un dipolo magnético, que tiene su propio momento dipolar magnético vector. Un dipolo genera un campo magnético. Por lo tanto, dos dipolos, va a interactuar el uno con el otro por medio de el campo. Por lo tanto, es suficiente para demostrar que un dipolo magnético experimentará una fuerza por un campo magnético externo. Y esto es exactamente lo que vamos a demostrar, utilizando sólo las ecuaciones de Maxwell y la fuerza de Lorentz.
Supongamos un circuito cerrado de $\gamma$, con corriente estacionaria $I$. En esta región existe un campo magnético externo $\mathbf B(\mathbf r)$. La fuerza sobre cada carga en $dq$ en el circuito es por la fuerza de Lorentz:
$$
d\mathbf F = dq\mathbf v\times\mathbf B
$$
Asumiendo $n$ de los portadores de carga por unidad de volumen del conductor, donde $A$ es el área de sección del circuito, podemos calcular la fuerza sobre un elemento de circuito de $d\mathbf l$:
$$
d\mathbf F = Ccn|d\mathbf l|\mathbf v\times\mathbf B =
Ccn|\mathbf v| d\mathbf l\times\mathbf B =
Un|\mathbf J| d\mathbf l\times\mathbf B =
I d\mathbf l\times\mathbf B
$$
Ahora podemos tener el par de torsión:
$$
d\tau = \mathbf r\veces d\mathbf F =
\mathbf r\times (yo d\mathbf l\times\mathbf B) =
I\mathbf r\times (d\mathbf l\times\mathbf B)
$$
Sobre el par, aviso que si integramos componente por componente, llegaremos a: $\tau = I\mathbf A\times\mathbf B$ donde $\mathbf A$ es el vector donde $A_i$ es el área por encima de las proyecciones de la curva de $\gamma$ sobre el plano xy, yz, zx. En este punto, podemos encontrar su momento magnético:
$$
\mathbf A = \frac{1}{2}\oint_\gamma \mathbf r\veces d\mathbf l
\quad\Longrightarrow\quad
\mathbf m = I\mathbf A = \frac{I}{2}\oint_\gamma \mathbf r\veces d\mathbf l
$$
Es posible demostrar que dicha integral también se da el vector $\mathbf A$. Por lo tanto, el par puede ser calculado usando momento magnético:
$$
\tau =
\mathbf m\times\mathbf B =
\oint_\gamma I\mathbf r\times (d\mathbf l\times\mathbf B)
$$
Por lo tanto estamos probando (no definir) que, de esta cantidad, de hecho, es igual al vector magnético momento $\mathbf m$. Es decir, que este circuito tiene asociado un momento magnético, y debido a esto hay un par. Coincide con el real, se define el valor del momento magnético vector desde el multipolo expansión del potencial vector magnético de localizada distribuciones de corriente. Además, indica que los sistemas con momento magnético (por ejemplo, los imanes) son equivalentes a la corriente de circuito bucles (observe como el momento magnético codifica la geometría del circuito). Un tratamiento similar al de todo esto es posible mediante el uso de un general localizada distribución de la corriente de $\mathbf J(\mathbf r)$ en lugar de un circuito de corriente $\gamma$ con statioanry actual $I$.
Expansión de Taylor de que el campo magnético se obtiene: $\mathbf B(\mathbf r) = \mathbf B_0 + \mathbf r\cdot\nabla\mathbf B$, hasta segunda orden. Usted puede considerar la posibilidad de $\nabla\mathbf B$ como la de la matriz Jacobiana del campo magnético. Observe que, podemos usar este tipo de aproximación para calcular la fuerza sobre el circuito:
$$
\mathbf F =
\oint_\gamma Id\mathbf l\times\mathbf B =
\oint_\gamma Id\mathbf l\times\mathbf B_0 + \oint_\gamma Id\mathbf l\times\mathbf r\cdot\nabla\mathbf B
$$
La primera integral, $\mathbf B_0$ es constante, y va a salir de la integral. Si $I$ es constante, va a salir también, y nos quedaremos con un cerrado integral sobre la $d\mathbf l$ que es cero. Así, la fuerza de la contribución proviene de la no uniformidad del campo magnético, es decir, su segundo fin de plazo de la expansión:
$$
\mathbf F =
I\oint_\gamma d\mathbf l\times(\mathbf r\cdot\nabla\mathbf B) =
(\mathbf m\times\nabla)\times\mathbf B
$$
Hecho. Aquí hemos hecho uso de el momento magnético. Esto significa, nada de lo que esta relacionado con un momento magnético (nuestro circuito, un imán, un dipolo, un planeta, etc) puede ser equivalente modelado por nuestro circuito, y la experiencia de una fuerza y par de torsión externo no uniforme de campo magnético (por ejemplo, el campo magnético generado por otros dipolo magnético, o, equivalentemente, el campo magnético generado por otro algo asociada con el momento magnético vector). Podemos simplificar:
$$
\mathbf F = (\mathbf m\times\nabla)\times\mathbf B =
\nabla(\mathbf m\cdot\mathbf B) - \mathbf m(\nabla\cdot\mathbf B)
$$
Donde aquí hemos utilizado un vector de identidad. Ahora, usando la ecuación de Maxwell: $\nabla\cdot\mathbf B = 0$, tenemos la fuerza y el par experimentado por el dipolo inmerso en la externa no campo magnético uniforme:
$$
\mathbf F = \nabla(\mathbf m\cdot\mathbf B), \quad\quad
\tau = \mathbf m\times\mathbf B
$$
