Una definición de Conway de la base 13 de la función

Question

Se puede dar una definición de los Conway de la base 13 de la función mejor que la realidad presente en la wikipedia (aquí), que no está claro? Tal vez con algunos ejemplos?

Answer 1

Entiendo por qué el artículo de la Wikipedia utiliza la notación se hace, pero me resulta molesto. Aquí es una transliteración, con alguna elaboración.

1. Expanda x ∈ (0,1) en la base 13, utilizando los dígitos {0, 1, ... , 9, d, m, p} --- el uso de la convención de d = 10, m = 11, p = 12. N. B. para los números racionales cuyo mayoría de reducción de la expresión a/b es tal que b es una potencia de 13 años, hay dos expansiones: una nueva expansión, y no termina no termina en la repetición de p dígitos. En tal caso, el uso de la terminación de la expansión.

2. Deje que S ⊂ (0,1) el conjunto de los reales, cuya expansión se involucra en un número finito de p, m, y d dígitos, de tal manera que el final d dígitos se produce después de la final de p dígitos y el final de m dígitos. (Podemos exigir que exista al menos un dígito del 0 al 9 entre el final de la p o de m dígitos y el final d dígitos, pero este no parece ser necesario.) Entonces, cada x ∈ S se tiene una base de 13 de expansión de la forma
   
   0.x₁x₂ ... x_n [ p o m ] de un₁a un₂ ... un_k [ d ] b₁b₂ ...
   
   para algunos dígitos x_j ∈ {0, ... , p} y donde los dígitos de un_j y b_j se limitan a {0, ... , 9} para todo j. Los corchetes son sólo la intención de énfasis; y, en particular, de las n+1^pt de la base de 13 dígitos de x es la última ocurrencia de p o m en la expansión de x.

3. Para x ∈ S, definimos f(x) por transliterating la cadena de formato anterior. Ignoramos los dígitos x₁ a través de x_n , transcribir la p o m como un signo más o signo menos, y la d como un punto decimal. Esto produce una expansión decimal de un número real, ya sea
   
   +un₁un₂ ... una_k . b₁b₂ ...
   
   o
   
   −un₁un₂ ... una_k . b₁b₂ ...
   
   de acuerdo a si los n+1^pt de la base de 13 dígitos de x es un p o m respectivamente. Para x ∈ S, ponemos f(x) a este número; para x ∉ S, ponemos f(x) = 0.

Nota: esta función no es computable, ya que no hay manera que usted puede determinar de antemano si la base 13 de la expansión de x ∈ (0,1) tiene sólo un número finito de sucesos de cualquiera de los dígitos p, mo d; incluso si se le proporciona un número que se comprometió a tener sólo un número finito, en general, no se puede saber cuando usted ha encontrado la última. Sin embargo, si se le proporciona un número x ∈ (0,1) para el que conoce la ubicación de la final de la p, m, y d dígitos, usted puede calcular f(x) muy directamente.

Answer 2

Usted sólo tiene que cambiar de ida y vuelta desde el lexicográfica del significado de la base-13 de expansión de la serie (creo que de haber ABC en lugar de .-+) y el cargado de significado que le damos a la cadena bien formada como una base-10 número.

Un ejemplo de un número para el que Conway de la base 13 de la función es 0 es

0.12-34++1+2-34..11111111111...

donde la izquierda . es el threedecimal punto (es decir, tiene un significado semántico), los tres de la derecha . significa que la base-13 representación tiene un número infinito de 1 (es decir, tienen un metameaning), y los otros dos . son los "números" de la serie (es decir, tienen un significado sintáctico).
Un ejemplo de un número para el que Conway base-13 función no es 0 es

0.12-34++1+2-34.11111111111...

En ese número, la función tiene un valor -34.11111111111... (en base 10)

Answer 3

La idea de los Conway base-13 número es encontrar una función que no es continua, sin embargo, si f(a)<x<f(b), entonces hay algunas c entre a y b con f(c)=x. Este un contraejemplo para el recíproco del teorema del valor intermedio.

La función está definida por la codificación de la base de 10 los valores en la cola (los dígitos a la izquierda después de saltar de un número finito). Utilizamos +, -, . y los dígitos para representar un número codificado en la cola y requieren que el número codificado para iniciar con un + o -. En base 10, todos los números que terminan en un número infinito de 9s puede ser reescrito para terminar en un número infinito de 0s en su lugar (es decir. 0.999...=1.0). Del mismo modo, podemos decidir que vamos a reescribir cada Conway número que termina en un número infinito de +, para asegurarse de que cada número real tiene una única representación decimal.

Cada número puede tener hasta una base-10 valor codificado, que es el resultado de la aplicación de Conway de la Base 13 de la función, si es que existe. Si no la codificación de x(es decir. + ocurren infinidad de veces en la expansión), a continuación, definimos f(x)=0.

A continuación mostramos que para cada a y b que nos podemos encontrar en un c entre con una arbitraria valor codificado. Tenemos, primero asegúrese de que el número está construyendo entre a y b copiando los dígitos de a y el incremento de un dígito que no importa. Esto es más fácil porque se han rechazado que terminan en un número infinito de +. Luego nos concatenar los dígitos de la firma de base 10 de la representación de el valor que deseamos que la función de los dígitos ya hemos corregido.