La suma de las fórmulas de obtener engorroso después de más de uno o dos $\sum$ símbolos de producirse,
así que me voy a inventar un poco de propósito especial de notación.
(O volver ainventar una notación, como creo que alguien más probablemente ha utilizado la notación
con un propósito similar antes.)
Vamos
$$\newcommand{\msum}[2]{#1^{\langle{#2}\rangle}}
\begin{eqnarray}
\msum{N}{0} &=& 1,\\
\msum{N}{p} &=& p \sum_{n=1}^N \msum{n}{p} \quad \mbox{for}\quad p > 0.
\end{eqnarray}$$
Entonces
$$\begin{eqnarray}
\msum{N}{1} &=& 1 \sum_{n=1}^N 1 = N,\\
\msum{N}{2} &=& 2 \sum_{n=1}^N \sum_{m=1}^n 1 = (N+1)N,\\
\msum{N}{3} &=& 6 \sum_{n=1}^N \sum_{m=1}^n \sum_{k=1}^m 1 = (N+2)(N+1)N,
\end{eqnarray}$$
y así sucesivamente.
En general,
$$\msum{N}{p} = (N + p - 1)(N + p - 1)\cdots(N + 2)(N + 1)N.$$
Claramente $$N^2 = (N+1)N - N = \msum{N}{2} - \msum{N}{1}.$$
Con el fin de escribir los poderes superiores de $N$ en términos de estas cantidades, será útil
para derivar tales ecuaciones para los distintos valores de $m$ $k$ en
$(N+m)(N+m-1)\cdots(N+2)(N+1)N^k$
y a la reutilización de dichas ecuaciones, mientras trabajaba en los poderes superiores.
Por ejemplo,
$$\begin{eqnarray}
(N+1)N^2 &=& (N+2)(N+1)N - 2(N+1)N \\
&=& \msum N3 - 2\msum N2,\\
N^3 &=& (N+1)N^2 - N^2 = \msum N3 - 2\msum N2 - (\msum N2 - \msum N1) \\
&=& \msum N3 - 3\msum N2 + \msum N1, \\
&&\\
(N+2)(N+1)N^2 &=& (N+3)(N+2)(N+1)N - 3(N+2)(N+1)N \\
&=& \msum N4 - 3\msum N3,\\
(N+1)N^3 &=& (N+2)(N+1)N^2 - 2(N+1)N^2 \\
&=& \msum N4 - 3\msum N3 - 2(\msum N3 - 2\msum N2),\\
&=& \msum N4 - 5\msum N3 + 4\msum N2,\\
N^4 &=& (N+1)N^3 - N^3 \\
&=& \msum N4 - 5\msum N3 + 4\msum N2 - (\msum N3 - 3\msum N2 + \msum N1) \\
&=& \msum N4 - 6\msum N3 + 7\msum N2 - \msum N1, \\
&&\\
(N+3)(N+2)(N+1)N^2 &=& (N+4)(N+3)(N+2)(N+1)N \\
&& \qquad - 4(N+3)(N+2)(N+1)N \\
&=& \msum N5 - 4\msum N4,\\
(N+2)(N+1)N^3 &=& (N+3)(N+2)(N+1)N^2 - 3(N+2)(N+1)N^2 \\
&=& \msum N5 - 4\msum N4 - 3(\msum N4 - 3\msum N3) \\
&=& \msum N5 - 7\msum N4 + 9\msum N3,\\
(N+1)N^4 &=& (N+2)(N+1)N^3 - 2(N+1)N^3 \\
&=& \msum N5 - 7\msum N4 + 9\msum N3 - 2(\msum N4 - 5\msum N3 + 4\msum N2),\\
&=& \msum N5 - 9\msum N4 + 19\msum N3 - 8\msum N2,\\
N^5 &=& (N+1)N^4 - N^4 \\
&=& \msum N5 - 9\msum N4 + 19\msum N3 - 8\msum N2 \\
&& \qquad - (\msum N4 - 6\msum N3 + 7\msum N2 - \msum N1) \\
&=& \msum N5 - 10\msum N4 + 25\msum N3 -15\msum N2 + \msum N1, \\
\end{eqnarray}$$
así que es tedioso pero no es difícil continuar hacia cualquier positiva
potencia entera de $N$, y fácilmente se podría programar un ordenador para
escribe la fórmula de la $N^p$ en esto de la moda.
Pero también tenemos
$$\begin{eqnarray}
\msum{N}{1} &=& 1 \sum_{n=1}^N 1 = N,\\
\msum{N}{2} &=& 2 \sum_{n=1}^N \sum_{m=1}^n 1,\\
\msum{N}{3} &=& 6 \sum_{n=1}^N \sum_{m=1}^n \sum_{k=1}^m 1,
\end{eqnarray}$$
y así sucesivamente.
Desde cada uno de los índice de la suma, que sólo aparece como el
número de términos de la siguiente interior de la suma,
si asumimos que el índice de la suma siempre se ejecuta de $1$
para el índice de la siguiente ultraperiféricas suma,
excepto por la parte más externa de la suma (que se ejecuta de$1$$N$),
luego también podemos escribir
$$\begin{eqnarray}
\msum{N}{2} &=& 2 \sum \sum 1 = \sum \sum 2!,\\
\msum{N}{3} &=& 6 \sum \sum \sum 1 = \sum \sum \sum 3!,
\end{eqnarray}$$
y en general,
$$\msum{N}{p} = \underbrace{\sum \sum \cdots \sum}_{\text{$n$ times}} p!.$$
La observación de que
$$\sum\left(\underbrace{\sum \sum \cdots \sum}_{\text{$$ n veces}} b + a\right)
= \underbrace{\sum \sum \cdots \sum}_{\text{$n+1$ veces}} b
+ \underbrace{\sum \sum \cdots \sum}_{\text{$n$ veces}},$$
podemos escribir
$$\begin{align}
a_p\msum {N&}p + a_{p-1}\msum Np + \cdots + a_2\msum N3 + a_2\msum N2 + a_1\msum N1 \\
&= \sum\left( \sum\left( \sum\left( \cdots
\sum\left( \sum p!a_p + (p-1)!a_{p-1}\right) \cdots
+ 3!a_3\right) + 2!a_2\right) + a_1\right)
\end{align}$$
Entonces podemos reescribir las ecuaciones ya se encuentra para $N^p$ como sigue:
$$\begin{eqnarray}
N &=& \sum 1, \\
N^2 &=& \sum\left( \sum 2 - 1 \right), \\
N^3 &=& \sum\left( \sum\left( \sum 6 - 6 \right) + 1\right), \\
N^4 &=& \sum\left( \sum\left( \sum\left( \sum 24 - 36 \right) + 14\right) - 1\right),\\
N^5 &=& \sum\left( \sum\left( \sum\left( \sum\left(
\sum 120 - 240 \right) + 150\right) - 30\right) + 1\right).
\end{eqnarray}$$
De hecho, el primer término de esta expansión de $N^p$ siempre $p!$,
como pensaba, el último siempre es $\pm 1,$
y los otros términos son múltiplos de $q!$ $q = p-1, p-2, \ldots, 2.$
