Elementos primarios en$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$

Question

Estoy tratando de determinar los elementos principales en el anillo$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$.

Answer 1

Cada ideal de$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ tiene la forma$m\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, donde$m$ es un divisor de$n$. Y su anillo de residuo es isomorfo a$\mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$. Por lo tanto, un ideal primo de$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ es de la forma$p\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$, donde$p$ es un divisor primo de$n$. Por lo tanto, cada elemento primo de$\mathbb{Z}/n\mathbb{Z}$ tiene la forma$p$ (mod$n$), donde$p$ es un divisor primo de$n$.

Answer 2

La sugerencia $\rm\:\ (p,n) = 1\:\Rightarrow\:p\:$ es una unidad en$\rm\: \Bbb Z/n.\:$ Else$\rm\:p\:|\:n\:$ por lo tanto

PS

Este es un caso muy especial de un principio de correspondencia general entre ideales primos en un anillo R y sus anillos de cociente.

Answer 3

El siguiente es el mismo que el de niza respuesta por Makoto Kato. Se diferencia por no usar la palabra ideal, y por ser mucho más largo, y el más difícil de seguir. ¿Cuál es el punto? Tal vez puede servir como un puente para el más abstracto punto de vista de alguien que ha visto algunos de los elementales de la teoría de números.

Un primer elemento en un anillo conmutativo es generalmente definido como un no-cero no-objeto de la unidad de $q$ que si $q$ divide $ab$ $q$ divide $a$ o $q$ divide $b$.

Creo que de los elementos del anillo como los números de $0$ $n-1$bajo la adición y la multiplicación modulo $n$. Deje $q \ne 0$, y deje $d=\gcd(q,n)$. Para primeness debemos tener $d \gt 1$, otra cosa $q$ es una unidad.

Si $d$ es una corriente principal, a continuación, $q$ es una de las principales en nuestro cociente del anillo. Para supongamos que hay un $x$ tal que $qx\equiv ab\pmod{n}$. Desde $d$ es una corriente principal, y $d$ divide $q$$n$, se divide $ab$, por lo que se divide una de $a$$b$, decir $a$. Pero, a continuación, $d$ divide $a$ en nuestro cociente del anillo.

Si $d$ no es un simple prime, deje $d=st$, donde $s \gt 1$, $t\gt 1$. Claramente $d$ divide $st$. Pero no divide ni $s$ ni $t$ en nuestro cociente del anillo. Para mostrar que no divide $s$, supongamos que al contrario, que hay un $x$ tal que $dx\equiv s\pmod{n}$. A continuación, $d$ divide $s$ en el sentido ordinario, lo cual es imposible.