Cuántos puntos en el plano xy hacer los gráficos de $y=x^{12}$ $y=2^x$ se cruzan?

Question

A la pregunta del título es equivalente a encontrar el número de ceros de la función $$f(x)=x^{12}-2^x$$

Geométricamente, no es difícil determinar que existe una cruzan en el segundo cuadrante. Y cuando $x>0$, $x^{12}=2^x$ es equivalente a $\log x=\frac{\log 2}{12}x$. Hay dos cruza desde $\frac{\log 2}{12}<e$.

Hay otros más rápida manera de mostrar este?

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Edit: Esta pregunta está motivada de un GRE math sujeto de la prueba problema que es de opción múltiple para un(A. Ninguno B. Uno C. Dos D. Tres E. Cuatro). Generalmente, la habilidad de un estudiante para resolver tal problema tan pronto como sea posible puede ser valioso, al menos para este tipo de prueba. En este caso particular, la intuición geométrica puede ser engañosa si uno simplemente un bosquejo de la curva de dos funciones para encontrar la posible intersección.

Answer 1

Debemos recordar que esta fue una prueba de selección múltiple (ugh!) así que para hablar de estrategias necesitamos saber las opciones que se ofrecen. No hay suficiente espacio en el que las burbujas pequeñas que los estudiantes se supone que un negro en la que incluso un corto de prueba.

Un áspero conocimiento de los gráficos fue probablemente suficiente. Incluso el más primitivo boceto o imagen mental de un boceto, muestra que no es precisamente un punto de intersección con $x$ negativo.

Para $x \ge 0$, $2^x$ se inicia por encima de $x^{12}$. Y $2^x$ está muy por debajo de $x^{12}$$x=2$. Y $2^x$ es en última instancia va a "ganar" estándar de las propiedades de la exponencial.

Así que hay al menos $3$ puntos de intersección. Me imagino que las opciones eran algo así como $1$, $2$, $3$, $4$. Así que probablemente sólo necesita para eliminar $4$. Esto se puede hacer notar que el número de puntos de intersección con $x \ge 0$ es, probablemente, incluso ($2^x$ se inicia por encima, termina anteriormente, a los que nunca piensan en el conceivability de tangencia).

Answer 2

Si usted se está resolviendo un examen de opción múltiple como GRE usted realmente necesita una rápida intuitiva, pero cierto, el pensamiento. He intentado ponerme en este apresurado conjunto de la mente cuando leí tu pregunta y el pensamiento de esta manera: pensar de $x^{12}$ como algo parecido a $x^2$, pero un crecimiento más rápido, pensar de $2^x$ $e^x$ asimismo, croquis ambas funciones.

Es inmediato ver un punto de intersección para $x<0$ y otro para $0<x<b$, para algunos positivos $b$ desde el exponencial crece más lento para las pequeñas $x$ por un tiempo, como el esbozado gráfico sugiere. Así que la respuesta es, al menos,$2$. De hecho es $3$ porque después del segundo punto de intersección ver claramente en el gráfico de $x^{12}$$2^x$, pero se debe notar que $a^x\gg x^n$$+\infty$, y por lo tanto la exponencial debe asumir y tener un tercer punto de intersección en un gran valor de positivos $x$. Una vez que esto sucede, la función exponencial está creciendo tan rápido que una función potencial puede alcanzar de modo que no hay más intersecciones.

(Para ver rápidamente que $a^x\gg x^n$ $+\infty$ simplemente calcular $\lim_{x\to\infty}\frac{a^x}{x^n}=+\infty$ usando la regla de L'Hospital o Taylor ampliar el numerador, cuyos términos son de la forma $\log^m(a)a^m/m!$).

Más rigurosamente, tal vez usted puede encontrar una manera de estudiar los signos de $g(x)=x^{12}-2^x$ mediante el uso de derivados y la monotonía. Hay 4 intervalos dando signos + - + - resultando en 3 puntos de intersección, por el teorema del valor intermedio. Estos intervalos son de forma directa visto como motivada por encima acaba de bosquejar la función y teniendo en cuenta el comportamiento de los grandes valores de $x$. Para asegurarse de que no hay ningún otro cambio de signo se debe demostrar que $g'$ es monótono después de que el tercer punto de intersección. Justo después de este último punto, la gráfica de $2^x$ fácilmente puede ser visto a través de $x^{12}$ y tanto subfunciones son monótonas, junto con sus derivados: desde $2^x>x^{12}\Rightarrow \log(2)2^x>12x^{11}$, lo que significa $g'(x)=12x^{11}-\log(2)2^x$ es de hecho monótono después y por lo tanto no hay ningún cuarto de intersección.

Answer 3

Esto no es realmente independiente de la respuesta, más una reunión en un lugar de lo que otros han dicho.

Es fácil ver que hay una solución entre el $-1$ $0$ (desde $x^{12}-2^x$ es positivo en $-1$ y negativa en $0$), y la otra solución entre el $1$ $2$ (de nuevo, hay un cambio de signo), y otra solución más que la de $2$ (por Theo Buehler el comentario sobre José Malkevitch la respuesta). A continuación, hay una serie de maneras para demostrar que no hay otras soluciones, además de estos tres.

Answer 4

De Arce... $$ \Biggl[\frac{-12\mathrm{LambertW} \biggl(\frac{\operatorname{ln} (2)}{12}\biggr)}{\operatorname{ln} (2)},\frac{-12\mathrm{LambertW} \biggl(\frac{-\operatorname{ln} (2)}{12}\biggr)}{\operatorname{ln} (2)}, \frac{-12\mathrm{LambertW} \biggl(-1,\frac{-\operatorname{ln} (2)}{12}\biggr)}{\operatorname{ln} (2)}\Biggr] $$ $=[-0.9467803304,1.063346831,74.66932553]$ además de muchas soluciones complejas.

Answer 5

La simple tipo de gráfica destrezas que se desarrolla en la geometría analítica/pre-cálculo sería sugieren que la respuesta iba a ser de dos. Uno puede tratar de Wolfram Alpha para ver lo que sucede:

http://www.wolframalpha.com/input/?i=plot+x%5E12%2C+2%5Ex