Cómo resolver la ecuación diferencial $y'=3y^{\frac{2}{3}}$, $y(0)=0$

Question

He encontrado el ODE $\displaystyle y'=3y^{\frac{2}{3}}$, bajo el supuesto de $y(0)=0$ en algún lugar y trató de resolverlo.

Creo que hay infinitamente muchas soluciones para el problema, pero no podía encontrar más de $y=x^3$$y=0$.

Se puede comprobar que hay una infinidad de soluciones o de que no hay?

Gracias por la ayuda!

Answer 1

Este es un ejemplo estándar en conexión con la unicidad de soluciones para el problema del valor inicial. El problema de valor inicial $$y'=3y^{2/3}\ ,\quad y(0)=0$$ no cumple con la técnica esencial de la asunción de la existencia y unicidad teorema, debido a que $$\lim_{y\to0}{|y|^{2/3}\over |y|}=\infty\ .$$ Por lo tanto, no podemos esperar una solución única. Como otros colaboradores han observado las funciones de $x\to0 \ (x\in{\mathbb R})$ $x\to x^3 \ (x\in{\mathbb R})$ son soluciones; y como la ecuación diferencial es "$x$libre de" una infinidad de otras soluciones pueden ser "empalmado" el uso de estas y sus traduce.

En relación con el problema inicial es razonable considerar dos soluciones de uno y el mismo, si coinciden en una vecindad del punto inicial (procedimiento para las respectivas clases de equivalencia uno, a continuación, habla acerca de los gérmenes de soluciones). En nuestro ejemplo hay exactamente cuatro diferentes gérmenes.

Tenga en cuenta que el fenómeno observado aquí es que no patológico. Resulta que cada vez que tenemos un sobre a una determinada familia de curvas.

Answer 2

Usted puede obtener una infinidad de soluciones por el empalme de los dos ya determinado $\dots$ $$y=\cases{0,& $x\le a$\\(x-a)^3,& $x>a$}$$ para cualquier $a\ge 0$. Hay un montón de otras combinaciones que puedes hacer también.