Caminata al azar en un cubo

Question

Iniciar una caminata al azar en un vértice de un cubo, con la misma probabilidad de ir a lo largo de las tres aristas que se pueden ver (a otro vértice). ¿cuál es el número esperado de pasos para llegar al vértice opuesto que se inicia con los?

Answer 1

$\hskip1.75in$

Un paseo aleatorio en el cubo tiene ocho estados, pero por simetría podemos reducir esta a cuatro estados: inicio, más cercana a los vecinos, además de los vecinos, y opuesto. El "límite" es el único estado {o}.

Definir $h$ como el tiempo de espera para golpear el límite de partida en $x$, es decir, $h(x)=\mathbb{E}_x(T).$

Primer paso de análisis de da \begin{eqnarray*} h(s)&=&1+h(n)\vphantom{1\over3}\\[3pt] h(n)&=&1+{1\over3}\, h(s)+{2\over 3}\, h(f)\\[3pt] h(f)&=&1+{1\over3}\, 0+{2\over 3}\, h(n). \end{eqnarray*}

Usted puede trabajar que a $h(s)=10$.

Answer 2

Está claro que la expectativa es finito. Será útil tener un cubo para jugar con.

Hay $4$ tipos de vértice: el Tipo a, el vértice de empezar a; Tipo B, el de la universidad de distancia $1$ desde el inicio; Tipo C, el de la universidad de distancia $2$ desde el inicio; y, finalmente, Tipo D, con el vértice opuesto desde el principio.

Deje $a$ ser el número esperado de pasos de la a a la D (esto es lo que queremos). Deje $b$ ser el número esperado de (adicional) pasos para llegar a D dado que estamos en una de Tipo B vértice. Y deje $c$ ser el número esperado de pasos adicionales dado que estamos en un Tipo de C vértice.

Si estamos en Una, luego con una probabilidad de $1$, vamos a estar en un paso a un Tipo de vértice B, por lo que $$a=b+1.$$

Si estamos en una tyoe B vértice, luego con una probabilidad de $\frac{1}{3}$ en la siguiente etapa que volver a Una, y con una probabilidad de $\frac{2}{3}$ vamos a un Tipo de C vértice. De ello se sigue que $$b=\frac{1}{3}(a+1)+\frac{2}{3}(c+1).$$ Por último, si estamos en un Tipo de vértice C, con una probabilidad de $\frac{2}{3}$ estamos próximos a ir a una de Tipo B, y con una probabilidad de $\frac{1}{3}$ llegamos a D. Así $$c=\frac{2}{3}(b+1)+\frac{1}{3}.$$ Tenemos tres ecuaciones lineales en $3$ incógnitas. Resolver para $a$.