Es útil en varios sentidos. Cuando usted está hablando acerca de topológico (es decir, abierto o cerrado) de las propiedades de la diagonal, estamos hablando de la separación de los puntos de $X$.
Por ejemplo, considere 7). Unramifiedness dice que usted no tiene 'hojas', se unen en su mapa. Por ejemplo este es el tipo de imagen que queremos evitar. Dicho esto, podemos entender el sentido de esta en términos de puntos de $X$ ser pariente cercano a $Y$. Es decir, lo que va mal en esta imagen en un punto de ramificación (por ejemplo, el de arriba a la derecha)? Tenemos dos hojas de "coming together". Podemos imaginar la elección de los pares de puntos en estas hojas $(x,y)$ ($x$ en la parte superior de la hoja y $y$ en la parte inferior de la hoja) que se asignan a un mismo punto de $Y$ bajo $f$ (es decir, de modo que en la imagen $x$ se encuentra directamente por encima de $y$). Entonces tenemos que $(x,y)$ es un punto de $X\times_Y X$. A continuación, vemos que por la elección de los puntos de $(x,y)$, como en el anterior, acercándose a las cúspides, tenemos puntos de $(x,y)\in X\times_Y X-\Delta_{X/Y}$ convergen a la cúspide punto. Pero, esta cúspide punto de $p$ es sólo $(p,p)$ - está en la diagonal! Así, vemos que $X\times_Y X-\Delta_{X/Y}$ es no cerrado, y por lo $\Delta_{X/Y}$ es no abrir.
Para resumir este argumento, hemos visto que las hojas de venir juntos' podría ser formulada en términos de "pares de distintos puntos de $x$ (en la misma fibra) convergen a un par de puntos en la misma fibra, que NO son distintos'. Tan pronto como vemos un fraseo en términos de 'cercanía de los puntos de relativa $Y$' debemos ser clave en la aparición de $\Delta_{X/Y}$ en algún lugar en esta imagen. Explícitamente se muestra como en el último párrafo.
Veamos otro ejemplo: separatedness. Es decir, cuando queremos pensar en un mapa de $f:X\to Y$ como "separado". Un espacio de $X$ debe ser separada relativa a $Y$, si cualquiera de los dos puntos de $X$ puede ser hecho para parecer diferentes, separando por se abre, con lo que respecta a $Y$. En otras palabras, si $x,y\in X$$f(x)\ne f(y)$, en relación a $Y$, $x$ y $y$ aspecto diferente. Así que, yo debería ser capaz de separar estos elementos por un conjunto abierto. Este uso de 'cercanía de los puntos de $X$' debería clave de estados unidos en el hecho de que la diagonal, es más, va a hacer una aparición. Y, de hecho, creo que usted debe ser fácilmente capaz de convencer a ti mismo que $(x,y)\in X\times_Y X-\Delta_{X/Y}$, y que la separación de ellos por barrios cantidades para encontrar un abrir $(x,y)\in U\subseteq X\times_Y X-\Delta_{X/Y}$.
Dicho esto, a veces no está hablando acerca de las propiedades topológicas de $\Delta_{X/Y}$, a veces están exigiendo cosas como tu 4) (esto es a menudo llamado radicile). Es intuitivamente claro que el ser inyectiva debe ser la misma cosa como la diagonal de ser surjective. En efecto, ¿qué significaría para un par de $(x,y)\in X\times_Y X-\Delta_{X/Y}$ significaría que $x\ne y$, pero que $f(x)=f(y)$! Dicho esto, para entender por qué surjectivity de la diagonal equivalente a radicile, tenemos que ser un poco más cuidadoso. En la anterior, me fue imprudentemente confundir $X\times_Y X$ con la topológico producto de fibra. Esto está bien para la intuición, pero no aceptar preguntas técnicas como 4).
Es decir, vamos a pensar acerca de lo que el local cerrado de la incrustación de $\Delta_{X/Y}\to X\times_Y X$. Bien, poniendo a nuestra Yoneda tapas, este mapa es sólo el mapa, que a cada $Y$- $S$ asigna
$$\Delta_{X/Y}(S)=\{(x,y)\in X_S(S)\times X_S(S):x=y\}\subseteq (X\times_Y X)(S)=\{(x,y)\in X_S(S)\times X_S(S):f_S(x)=f_s(Y)\}$$
En otras palabras, $\Delta_{X/Y}\to X\times_Y X$ no sólo ver lo que está sucediendo en $f:X\to Y$, pero en todas las extensiones $f_S:X_S\to S$. Así, vemos por qué el $\Delta_{X/Y}\to X\times_Y X$ surjective es mucho más fuerte que simplemente $f$ ser inyectiva--este mapa resume todas las de la base-los cambios! En general (pero no siempre!), la intuición para espacios topológicos/juegos puede ser ejercida en el esquema teórico de las cosas, si se tiene en cuenta que estas propiedades son recordados también por la mayoría de la base de los cambios.
Todos en todos, como los dos ejemplos anteriores muestran, y como usted probablemente debe averiguar por sí mismo en el resto de los ejemplos, la utilidad de $\Delta_{X/Y}$ es clara. Es decir, $X\times_Y X$ nos da una manera de hablar acerca de los puntos de $X$ en relación al $Y$ en el esquema de la teoría de la lengua. La diagonal nos permite hablar, más o menos, sobre los puntos únicos de $X$, pero se construye dentro de este marco más amplio (de la total $X\times_YX$--pares de puntos). La utilidad de esto debe quedar claro a partir de los ejemplos anteriores, si queremos hablar sobre la separación de puntos, o acerca de los puntos de asignación al mismo punto.
