Me pregunto; si $$ ( A \cap B ) \subset ( C \cap D ) $$
Puede algo ser dicho acerca de la relación entre el $( A \cap B )$ y el: $$( A \cap C )$$ $$( A \cap D )$$ $$( B \cap C )$$ $$( B \cap D )$$
Respuestas
¿Demasiados anuncios?
Edit: he recibido algunos downvotes y "esto no responde a la pregunta" los comentarios que yo no entiendo realmente a menos que yo groseramente mal interpretado la pregunta.
Aquí está mi interpretación. @OP, por favor, hágamelo saber si esto no es lo que pretende.
Si asumimos que el $(A \cap B) \subset (C \cap D)$, entonces nada puede ser dicho acerca de la relación entre el $(A \cap B)$ y ninguna de $(A \cap C)$, $(A \cap D)$, $(B \cap C)$, y $(B \cap D)$?
Suponiendo que esta reformulación de la pregunta es válida, aquí está mi respuesta.
Tenemos: $$A \cap B \subset A$$ $$A \cap B \subset B$$ y $$A \cap B \subset C \cap D \subset C$$ $$A \cap B \subset C \cap D \subset D$$ Por lo tanto, $A\cap B$ está contenida en cada uno de los conjuntos $A$, $B$, $C$, y $D$, por lo que se encuentra en la intersección de estos conjuntos.
P. S. En respuesta a la observación formulada por G Cab, yo interpreto $\subset$ a significar "es una (no necesariamente correcta) subconjunto de".
ManuelSchneid3r
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Depende exactamente de lo que se entiende por "$\subset$." He visto que el símbolo utilizado para designar tanto subconjunto, y posiblemente inadecuado subconjunto.
Primera interpretación ($\subsetneq$): Supongamos $A=B$$C=D$, e $A\subsetneq C$. Entonces la hipótesis se mantiene, pero nosotros no ha $A\cap B\subsetneq A\cap C$ (y lo mismo para las otras tres partes de la pregunta).
La segunda interpretación ($\subseteq$): Desde $A\cap B\subseteq C\cap D$,$A\cap B\subseteq C$. Por lo tanto $A\cap (A\cap B)\subseteq A\cap C$, $A\cap B\subseteq A\cap C$. Las otras tres partes de la cuestión son similares.
Que es: desde la (a priori más fuerte) hipótesis de $A\cap B\subsetneq C\cap D$, todo lo que podemos concluir es que el $A\cap B\subseteq A\cap C$ (y etc). El último inclusión puede ser incorrecta.
JMoravitz
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14532
Por desgracia, la respuesta original por @Bungo era la correcta, pero por alguna razón fue presionado para borrar. Si se decide a contestar de nuevo, animo a la gente a upvote que la respuesta y la pregunta que pide para seleccionarlo como el aceptado respuesta.
Como un prólogo, uno de los comentarios en @Bungo del post fue acerca de la distinción entre el uso de los símbolos $\subset$$\subseteq$. En algunos contextos $X\subset Y$ implica que el$X\subseteq Y$$X\neq Y$, es decir, que $X$ es una adecuada subconjunto de $Y$. Sin embargo, en muchos otros contextos no hacemos una distinción entre los dos. Es decir, según el autor, $X\subset Y$ sí no implica la $X\neq Y$. En particular, Walter Rudin Principios de Análisis Matemático sigue la convención de que $\subset$ no implica ser un subconjunto.
Definición 1: Un conjunto $X$ se dice que es un subconjunto del conjunto de $Y$, escrito con símbolos como $X\subseteq Y$ o $Y\supseteq X$, si y sólo si cada elemento que pasa a ser un elemento de $X$ también pasa a ser un elemento de $Y$.
Para probar que un conjunto $X$ es un subconjunto de un conjunto $Y$, uno puede tomar un elemento genérico de $X$, a menudo denotado como $x$, y mostrar que ciertas propiedades de los conjuntos en cuestión implica que también es un elemento de $Y$. Si no se especifica nada sobre el elemento $x$ aparte de ser un elemento de $X$, esto implicaría que es cierto para todos los elementos en $X$, lo que implica el resultado.
Definición 2: La intersección de dos conjuntos de $X$$Y$, escrito como $X\cap Y$, es el conjunto de todos los elementos que están tanto en $X$ $Y$ simultáneamente. Es decir, $x\in X\cap Y$ si y sólo si $x\in X$ e $x\in Y$.
Dado que el $A\cap B\subseteq C\cap D$, vamos a $x\in A\cap B$.
Entonces, por definición, 2, $x\in A$$x\in B$.
Además, desde el $x\in A\cap B$$A\cap B\subseteq C\cap D$, por definición, 1 esto implica que $x\in C\cap D$. Entonces, por definición, 2, esto implica, además, que $x\in C$$x\in D$.
Así, para cualquier $x\in A\cap B$ se sigue que todas las condiciones siguientes son verdaderas: $x\in A$$x\in B$$x\in C$$x\in D$. Por lo tanto, $x\in A\cap B\cap C\cap D$ y por lo tanto, por definición, 1 $A\cap B\subseteq A\cap B\cap C\cap D$.
En particular, entonces, mirando sólo dos de las cuatro declaraciones en un tiempo, esto implica que $x\in A\cap B, x\in A\cap C, x\in A\cap D, x\in B\cap C, x\in B\cap D$$x\in C\cap D$.
Entonces, por definición, 1, uno ha $A\cap B$ es un subconjunto de todos los conjuntos mencionados en la pregunta.
