$x^3 + 2x^2 + 5x + 2\cos x = 0$

Question

$x^3 + 2x^2 + 5x + 2\cos x = 0$

¿Cómo puedo encontrar el número de soluciones de esta ecuación (en $[0, 2\pi]$) sin un gráfico?

Intento:

La ecuación se simplifica a $x(x^2 + 2x + 5)=- 2\cos x $

Los mínimos de la cuadrática se produce en $x= -1$ y su valor es $4$

Los mínimos de $-2\cos x$ $-2$

Answer 1

Deje $$f(x)=x^3 + 2x^2 + 5x + 2\cos x$$

Entonces $$f'(x)=3x^2+4x-2\sin x+5$$ Since $$3x^2+4x+5>2\ge 2\sin x$$ for all $x\in\mathbb{R}$, we have that $$f'(x)>0$$ for all $x\in\mathbb{R}$. Thus $f$ is monotonically increasing for all real $x$.

Ahora como $$f(-1)=-1+2-5+1.08...=-2.91...<0,$$ $$f(0)=0+0+0+2=2>0$$ and $f$ is continuous for all values of $x$, by the Intermediate Value Theorem the equation $$f(x)=0$$ tiene una única solución.

P. S. Si usted está interesado, el valor de $x$ tal que $f$ cruza la $x$-eje es de alrededor de $-0.421$: https://www.desmos.com/calculator/2vnhsxqgz2

Answer 2

Busque primero en el cúbicos parte. Usted ve que es siempre creciente, y el mínimo de derivados, se encuentra en el punto de inflexión, que es en $x=-2/3$. La derivada no tiene valor $11/3>2$, de modo que toda la función, incluyendo la trigonométricas parte, es cada vez mayor. Por lo tanto, tiene sólo una raíz.

Answer 3

Usted tendrá que esbozar una gráfica para encontrar el número de soluciones.

Usted no necesita obtener exactamente detallada y en la escala de la derecha, así que usted puede hacerlo en el áspero papel muy fácilmente, sin necesidad de una calculadora.

Pero, ¿cómo?

Se identificó la primera parte correctamente, la separación de las dos funciones diferentes unos de otros:

$$x^3 + 2x^2 + 5x=- 2\cos x $$ Ahora, haciendo los RHS en el áspero papel es muy fácil. Nos vamos a centrar en el polinomio en el lado izquierdo.

El punto de inflexión de la cúbico se produce en $3x^2+4x+5=0$ que tiene cero soluciones de ($\because D<0$), por lo tanto, no hay ningún punto de inflexión, es decir, la función de $f(x)$ es monótona. El coeficiente de $x^3$$>1$, lo que implica el cúbicos comienza a partir de $-\infty$ al $x\rightarrow-\infty$, cruza el eje en $(0,5)$ y va hasta $+\infty$ al $x\rightarrow+\infty$.

Ahora, $f(-1)=-1+2-5=-4<-2$ y $f(x)$ $\forall x<-1$ está a menos de $-2$. Por lo tanto, aviso de $f(x)$ ha interceptó $y=-\cos x$ en el intervalo (0,1) .

Conocer la naturaleza de la LHS y RHS, fácilmente podemos comentar que no habrá más puntos de intersección.

Problema resuelto.

Answer 4

$$y_1=-x^3-5x$$ and $$y_2=2x^2+2\cos x$$

para $x\ge0, y_1<0, y_2>0$

para $-1<x<0$ tanto la reducción de la función y sólo tienen una intersección

para $x\le-1$ no hay intersección $$-x^3-5x<2x^2+2\cos x$$