¿Cuántos elementos hay en $\mathbb{Z}[i]/2\langle a+bi \rangle$ ?

Question

Consideremos el anillo cociente $\mathbb{Z}[i]/2\langle a + bi \rangle$ . Entonces este anillo es isomorfo a $\mathbb{Z}[x]/\langle x^2 + 1, 2(a + bx) \rangle$ . Entonces $x = i$ y $x = -\frac{a}{b}$ tal que $-\frac{a}{b} \in \mathbb{Z}$ . ¿Estoy entendiendo bien?

Pero, ¿cómo proceder a partir de aquí? He leído algunos posts sobre problemas similares, pero no sé/veo algo peculiar, que se omite en todos esos posts que he visto. Agradecería mucho si alguien me pudiera explicar la mecánica real de este tipo de determinación.

Answer 1

Es bien sabido que $|\mathbb Z[i]/\langle a+bi\rangle|=N(a+bi)=a^2+b^2$ .

Este hecho se deduce del teorema de la estructura de los grupos abelianos finitamente generados, que en particular establece que el número de elementos del co-núcleo de $$\mathbb Z[i] \xrightarrow{\cdot (a+bi)} \mathbb Z[i]$$ es igual al determinante de ese mapa (visto como mapa de libres $\mathbb Z$ -). Este determinante es igual a $N(a+bi)$ .