No puedo entender la definición de las estadísticas de orden

Question

Desde G. Casella & R. Berger "Inferencia estadística" :

Definición 5.4.1 Las estadísticas de orden de una muestra aleatoria $X_1,\dots,X_n$ son los valores de la muestra colocados en orden ascendente. En se indican con $X_{(1)},\dots, X_{(n)}$ .

Las estadísticas de orden son variables aleatorias que satisfacen $X_{(1)}\leq\dots\leq X_{(n)}$ . En particular, $X_{(1)}=\min\limits_{1 \leq i \leq n} X_i,\dots,X_{(n)}=\max\limits_{1 \leq i \leq n} X_i$ .

Mi pregunta: ¿cuál es el significado matemático de $ \min\limits_{1 \leq i \leq n}X_i $ y $\max\limits_{1 \leq i \leq n} X_i$ ?

Mi entendimiento: Sé que $X<Y$ significa $X(\omega)<Y(\omega) $ para todos $\omega \in \Omega$ . Aquí, $X_i$ son independientes e idénticamente distribuidos, por lo que $X_i(\omega)=X_j(\omega) $ para todos $\omega \in \Omega$ . Entonces, ¿cómo podemos elegir o definir el $\min$ y $\max$ de esas variables aleatorias idénticas?

Answer 1

Dada una realización de la muestra aleatoria iid $(X_1,\ldots,X_n)$ , $(x_1,\ldots,x_n)$ correspondiente a un elemento $\omega$ de $\Omega$ la variable aleatoria $$X_{(1)}=\min_{1\le i\le n} X_i$$ toma el valor $$\min_{1\le i\le n} x_i=\min_{1\le i\le n} X_i(\omega)$$ El índice $i$ de la realización más pequeña entre $(x_1,\ldots,x_n)$ es a su vez la realización de una variable aleatoria que varía con $\omega\in\Omega$ .

Por ejemplo, si simulo diez realizaciones de un triplete de variables normales, $X_1,X_2,X_3$ ,

> matrix(rnorm(30),10,3)
             [,1]       [,2]        [,3]
 [1,] -1.02746612  1.4859813 -0.27463682
 [2,]  1.71744642 -1.0629540 -0.91810440
 [3,] -0.02366358  1.2791298 -1.03245628
 [4,]  0.19509761  0.6689736  2.38240372
 [5,] -0.27112138  0.3897314  2.00995758
 [6,]  0.72376531 -0.2788061  0.06265955
 [7,] -1.99991699  1.0521950 -1.06698400
 [8,]  0.96063353 -0.1083878  0.01145838
 [9,] -1.79045784 -1.6397322  0.92556376
[10,]  0.64114091  0.9712841 -0.18193148

las diez realizaciones de $X_{(1)}$ son

 [1,] -1.02746612
 [2,] -1.0629540
 [3,] -1.03245628
 [4,]  0.19509761  
 [5,] -0.27112138  
 [6,] -0.2788061 
 [7,] -1.99991699
 [8,] -0.1083878
 [9,] -1.7904578
[10,] -0.18193148

con los respectivos índices 1, 2, 3, 1, 1, 2, 1, 2, 1, 3