No entiendo uno de los pasos de la demostración del Teorema 3.10(a) en Bebé Rudin. Aquí está el teorema y la prueba de hasta donde estoy atascado:
Definiciones Relevantes
El cierre del subconjunto $E$ de algunos de espacio métrico es la unión de $E$ con el conjunto de todos los de su límite de puntos.
El diámetro del subconjunto $E$ de algunos de espacio métrico es el supremum de el conjunto de todos los pares de las distancias entre sus elementos.
Para los puntos de $x$ $y$ en algunos de espacio métrico, $d(x, y)$ denota la distancia entre el$x$$y$.
Teorema 3.10(a) Si $\overline{E}$ es el cierre de un conjunto $E$ en un espacio métrico $X$, luego
$$ \text{diámetro} \ \overline{E} = \text{diámetro} \ E. $$
Prueba. Desde $E \subseteq \overline{E}$, tenemos
$$\begin{equation*} \text{diam} \ E \leq \text{diam} \ \overline{E}. \end{ecuación*}$$
Deje $\epsilon > 0$, y recoger $p, q \in \overline{E}$. Por la definición de $\overline{E}$, hay puntos de $p', q' \in E$ tal que $d(p,p') < \epsilon$ $d(q, q') < \epsilon$...
Veo que esto funciona si $p$ $q$ límite de puntos de $E$. Pero, ¿cómo funciona esto si, por ejemplo, $p$ no es un punto límite de $E$? Lo que si $E$ es una región en $\mathbb{R}^2$ junto con el punto de $p$ por sí mismo el modo en algún lugar?
