Estamos buscando dos números, $x$$y$. Vamos a dejar que $y$ ser el más grande (si no igual). Sabemos $x$ $y$ son enteros, y ambos son mayores de $1$, por lo que tenemos $y \geq x\geq 2$. Frank sabe que la suma de $(x+y)$, y Joe sabe que el producto $xy$.
El hecho de que Frank no sabe la respuesta indica que el $x+y \geq 6$, ya que una suma de $4$ o $5$ únicamente determinan $x$$y$$4 = 2+2$$5=2+3$. Así que el primer par de posibilidades para la suma se $6, 7, 8, \ldots$.
El hecho de que Joe no sabe $x$ $y$ indica que $x$ $y$ no son ambos primos, y también a $xy$ no es el cubo de un primer (desde $xy=pq$ o $xy = p^2$ o $xy=p^3$ únicamente determinan $x$ $y$ por única factorización). Así que el primer par de posibilidades para que el producto se $12, 16, 18, 20, 24, 28, \ldots$.
En particular, ahora sabemos que Frank no fue dado a $6$ para la suma, ya que las posibilidades de $3+3$ $2+4$ ambos son eliminados por sus correspondientes productos: $3*3 = 9$ $2*4 = 8$ no están permitidos.
Si Frank fue dada a $7$ para la suma, ahora sé que $x=3$$y=4$, ya que la posibilidad de $x=2$ $y=5$ ha sido eliminada.
Si, por otro lado, Frank recibió una suma de $8, 9, 10,$ o $11$, entonces Joe la información sobre el producto podría no ser suficiente para Frank para determinar los números:
$$
8 = 2+6 = 4+4
$$
$$
9 = 3+6 = 4+5
$$
$$
10 = 2+8 = 4+6
$$
$$
11 = 2+9 = 3+8 = 4+7 = 5+6
$$
Y de cara al futuro:
Proposición: Si $n \geq 12$, entonces siempre habrá varias maneras de escribir $n$ como una suma de dos enteros positivos mayores que $1$ donde al menos uno es compuesto, y no son tanto los poderes de la misma prime.
Prueba: Si $n= 0 \mod 4$, lo $n = 4b$,$b \geq 3$. A continuación, $(2b, 2b)$ $(2b+2, 2b-2)$ son dos pares de (a), compuesta de números cuya suma $n$. O si $n$ es incluso y $k=n/2\geq 6$ es impar, entonces $k\geq 7$. En ese caso, $(k+1,k-1)$ $(k+3, k-3)$ son dos pares de (a), compuesta de números cuya suma es $n$.
Por otro lado, si $n = 2k+1 $ es impar, entonces $k\geq 6$. Considere la posibilidad de que el par $(k, k+1)$. Los números de $k$ $k+1$ no puede ser ambas prime (ya que tienen distinta paridad y tampoco es $2$), y que no son potencias de la misma prime (ya que su diferencia es $1$). Por otro lado, podemos decir lo mismo sobre el par $(k-2, k+3)$: igual que el anterior, no son ambos primos. Además, ellos no son potencias de la misma prime desde su diferencia es divisible por $5$ y por lo tanto el primer tendría que ser $5$, pero la diferencia entre los distintos poderes positivos de $5$ es siempre, al menos,$20$.
Así que me parece que cuando Frank anuncia que él tiene la respuesta, que por sí solo debería ser suficiente para nosotros (y Fenton Hardy) para deducir la solución; además el testimonio de Joe no es necesario.
