Encontrar las soluciones factibles básicas

Question

Encontrar las soluciones factibles básicas del sistema de restricciones:

$$2x_1+x_2+x_3=10 \\ 3x_1+8x_2+x_4=24 \\ x_2+x_5=2 \\ x_i \geq 0, i=1,2,3,4,5$$

Nos damos cuenta de que el rango de la matriz $A=\begin{pmatrix} 2 & 1 & 1 & 0 & 0\\ 3 & 8 & 0 & 1 & 0\\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \end{pmatrix}$ is $3$ and obviously for $x_1=x_2=0$ we have the solution $\overline{x_0}=(0,0,10,24,2)$, que es básica factible no degenerada. Así, los primeros cuadros de el algoritmo de la búsqueda de los vértices es el siguiente:

$$\begin{matrix} B & b & P_1 & P_2 & P_3 & P_4 & P_5 & \theta \\ \\ P_3 & 10 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 & 10/2\\ P_4 & 24 & 3 & 8 & 0 & 1 & 0 & 24/3\\ P_5 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 & 5 & - \end{de la matriz}$$

Recogemos $P_1$ a obtener en la base.

$$\theta_0= \min \{ \frac{10}{2}, \frac{24}{3}\}=5$$

El pivote es el elemento $2$, por lo que la columna de $P_3$ sale de la base.

Entonces tenemos esta matriz:

$\begin{matrix} B & b & P_1 & P_2 & P_3 & P_4 & P_5 & \theta & \\ \\ P_1 & 5 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 & & \Gamma_1'=\frac{1}{2} \Gamma_1\\ \\ P_4 & 9 & 0 & \frac{13}{2} & -\frac{3}{2} & 1 & 0 & & \Gamma_2'=\Gamma_2-3\Gamma_1'\\ \\ P_5 & 2 & 0 & 1 & 0 &0 & 1 & & \Gamma_3'=\Gamma_3-0 \Gamma_1' \end{de la matriz}$

Así que la nueva solución que hemos encontrado es $(5,0,0,9,2)$ que es la base factible no degenerada.

A continuación, elegimos a obtener en base a si la columna $P_2$ o $P_3$. Elegimos $P_2$.

$$\theta_0= \min \{ \frac{5}{\frac{1}{2}}, \frac{9}{\frac{13}{2}}, \frac{2}{1}\}=\frac{18}{3}$$

El pivote es el elemento $\frac{13}{2}$, lo $P_4$ sale de la base.

Entonces tenemos esta matriz:

$\begin{matrix} B & b & P_1 & P_2 & P_3 & P_4 & P_5 & \theta & \\ \\ P_1 & \frac{56}{13} & 1 & 0 & \frac{8}{13} & -\frac{1}{13} & 0 & & \Gamma_1'= \Gamma_1-\frac{1}{2} \Gamma_2'\\ \\ P_2 & \frac{18}{13} & 0 & 1 & -\frac{3}{13} & \frac{2}{13} & 0 & & \Gamma_2'=\frac{2}{13} \Gamma_2\\ \\ P_5 & \frac{8}{13} & 0 & 0 & \frac{3}{13} &-\frac{2}{13} & 1 & & \Gamma_3'=\Gamma_3-\Gamma_2' \end{de la matriz}$

Así que la nueva solución que hemos encontrado es $\left( \frac{56}{13}, \frac{18}{13}, 0,0, \frac{8}{13}\right)$ que es básica factible no degenerada.

A continuación, elegimos $P_3$ a obtener en la base.

$\theta_0=\min \{ \frac{56}{8}, \frac{8}{3}\}=\frac{8}{3}$

El pivote es el elemento $\frac{3}{13}$, por lo que la columna de $P_5$ sale.

$\begin{matrix} B & b & P_1 & P_2 & P_3 & P_4 & P_5 & \theta & \\ \\ P_1 & \frac{664}{169} & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & -\frac{8}{3} & & \Gamma_1'= \Gamma_1-\frac{8}{13} \Gamma_3'\\ \\ P_2 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & & \Gamma_2'= \Gamma_2+\frac{3}{13} \Gamma_3'\\ \\ P_3 & 0 & 0 & 0 & 1 &-\frac{2}{3} & \frac{13}{3} & & \Gamma_3'=\frac{13}{3}\Gamma_3 \end{de la matriz}$

Por tanto, la nueva solución es $\left( \frac{664}{169}, 2 , \frac{8}{3}, 0, 0\right)$ que es básica factible no degenerada.

Si elegimos $P_5$ no obtener una solución factible básica, por lo que tenemos que recoger $P_1$.

Es correcto hasta el momento?

Answer 1

El último de cuadros debe ser:

\begin{matrix} B & b & P_1 & P_2 & P_3 & P_4 & P_5 & \theta & \\ \\ P_1 & \color{red}{\frac{8}{3}} & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & -\frac{8}{3} & & \Gamma_1'= \Gamma_1-\frac{8}{13} \Gamma_3'\\ \\ P_2 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & & \Gamma_2'= \Gamma_2+\frac{3}{13} \Gamma_3'\\ \\ P_3 & \color{red}{\frac{8}{3}} & 0 & 0 & 1 &-\frac{2}{3} & \frac{13}{3} & & \Gamma_3'=\frac{13}{3}\Gamma_3 \end{de la matriz}

$\frac{56}{13} - \frac{8}{3}.\frac{8}{13} = \frac{8}{3}$

Que da $(\frac{8}{3},2,\frac{8}{3},0,0)$.

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El interior del polígono $ABCDE$ es la región factible.

$A(0,0,10,24,2)$

$B(0,2,8,8,0)$

$C(\frac{8}{3},2,\frac{8}{3},0,0)$

$D(\frac{56}{13},\frac{18}{13},0,0,\frac{8}{13})$

$E(5,0,0,9,2)$

Algo salió mal con la $\left( \frac{664}{169}, 2 , \frac{8}{3}, 0, 0\right)$ cálculo?