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Encontrar las soluciones factibles básicas

Encontrar las soluciones factibles básicas del sistema de restricciones:

2x1+x2+x3=103x1+8x2+x4=24x2+x5=2xi0,i=1,2,3,4,5

Nos damos cuenta de que el rango de la matriz A=(211003801001001) is 3 and obviously for x1=x2=0 we have the solution ¯x0=(0,0,10,24,2), que es básica factible no degenerada. Así, los primeros cuadros de el algoritmo de la búsqueda de los vértices es el siguiente:

\begin{matrix}
B & b & P_1 & P_2 & P_3 & P_4 & P_5 & \theta \\  \\
P_3 & 10 & 2 & 1 & 1 & 0 & 0 & 10/2\\ 
P_4 & 24 & 3 & 8 & 0 & 1 & 0 & 24/3\\ 
P_5 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 & 5 & -
\end{de la matriz}

Recogemos P1 a obtener en la base.

θ0=min

El pivote es el elemento 2, por lo que la columna de P_3 sale de la base.

Entonces tenemos esta matriz:

\begin{matrix} B & b & P_1 & P_2 & P_3 & P_4 & P_5 & \theta & \\ \\ P_1 & 5 & 1 & \frac{1}{2} & \frac{1}{2} & 0 & 0 & & \Gamma_1'=\frac{1}{2} \Gamma_1\\ \\ P_4 & 9 & 0 & \frac{13}{2} & -\frac{3}{2} & 1 & 0 & & \Gamma_2'=\Gamma_2-3\Gamma_1'\\ \\ P_5 & 2 & 0 & 1 & 0 &0 & 1 & & \Gamma_3'=\Gamma_3-0 \Gamma_1' \end{de la matriz}

Así que la nueva solución que hemos encontrado es (5,0,0,9,2) que es la base factible no degenerada.

A continuación, elegimos a obtener en base a si la columna P_2 o P_3. Elegimos P_2.

\theta_0= \min \{ \frac{5}{\frac{1}{2}}, \frac{9}{\frac{13}{2}}, \frac{2}{1}\}=\frac{18}{3}

El pivote es el elemento \frac{13}{2}, lo P_4 sale de la base.

Entonces tenemos esta matriz:

\begin{matrix} B & b & P_1 & P_2 & P_3 & P_4 & P_5 & \theta & \\ \\ P_1 & \frac{56}{13} & 1 & 0 & \frac{8}{13} & -\frac{1}{13} & 0 & & \Gamma_1'= \Gamma_1-\frac{1}{2} \Gamma_2'\\ \\ P_2 & \frac{18}{13} & 0 & 1 & -\frac{3}{13} & \frac{2}{13} & 0 & & \Gamma_2'=\frac{2}{13} \Gamma_2\\ \\ P_5 & \frac{8}{13} & 0 & 0 & \frac{3}{13} &-\frac{2}{13} & 1 & & \Gamma_3'=\Gamma_3-\Gamma_2' \end{de la matriz}

Así que la nueva solución que hemos encontrado es \left( \frac{56}{13}, \frac{18}{13}, 0,0, \frac{8}{13}\right) que es básica factible no degenerada.

A continuación, elegimos P_3 a obtener en la base.

\theta_0=\min \{ \frac{56}{8}, \frac{8}{3}\}=\frac{8}{3}

El pivote es el elemento \frac{3}{13}, por lo que la columna de P_5 sale.

\begin{matrix} B & b & P_1 & P_2 & P_3 & P_4 & P_5 & \theta & \\ \\ P_1 & \frac{664}{169} & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & -\frac{8}{3} & & \Gamma_1'= \Gamma_1-\frac{8}{13} \Gamma_3'\\ \\ P_2 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & & \Gamma_2'= \Gamma_2+\frac{3}{13} \Gamma_3'\\ \\ P_3 & 0 & 0 & 0 & 1 &-\frac{2}{3} & \frac{13}{3} & & \Gamma_3'=\frac{13}{3}\Gamma_3 \end{de la matriz}

Por tanto, la nueva solución es \left( \frac{664}{169}, 2 , \frac{8}{3}, 0, 0\right) que es básica factible no degenerada.

Si elegimos P_5 no obtener una solución factible básica, por lo que tenemos que recoger P_1.

Es correcto hasta el momento?

1voto

Simon Goldeen Puntos 6663

El último de cuadros debe ser:

\begin{matrix} B & b & P_1 & P_2 & P_3 & P_4 & P_5 & \theta & \\ \\ P_1 & \color{red}{\frac{8}{3}} & 1 & 0 & 0 & \frac{1}{3} & -\frac{8}{3} & & \Gamma_1'= \Gamma_1-\frac{8}{13} \Gamma_3'\\ \\ P_2 & 2 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & & \Gamma_2'= \Gamma_2+\frac{3}{13} \Gamma_3'\\ \\ P_3 & \color{red}{\frac{8}{3}} & 0 & 0 & 1 &-\frac{2}{3} & \frac{13}{3} & & \Gamma_3'=\frac{13}{3}\Gamma_3 \end{de la matriz}

\frac{56}{13} - \frac{8}{3}.\frac{8}{13} = \frac{8}{3}

Que da (\frac{8}{3},2,\frac{8}{3},0,0).


feasible region (x_1,x_2)

El interior del polígono ABCDE es la región factible.

A(0,0,10,24,2)

B(0,2,8,8,0)

C(\frac{8}{3},2,\frac{8}{3},0,0)

D(\frac{56}{13},\frac{18}{13},0,0,\frac{8}{13})

E(5,0,0,9,2)

Algo salió mal con la \left( \frac{664}{169}, 2 , \frac{8}{3}, 0, 0\right) cálculo?

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