Escribir un $L^p$ funciones como suma de una $L^2$ $L^{\infty}$ funciones

Question

Está escrito en un artículo que:

Si $f\in L^p$, $p>2$, a continuación,$f=f_1+f_2$, donde $f_1\in L^2$, $f_2\in L^\infty$, y $||f_1||_{L^2}\leq 2||f||_{L^p}$, $||f_2||_{L^\infty}\leq 2||f||_{L^p}$.

Pero no sé cómo demostrarlo. Podría preguntarle por algunas instrucciones para la prueba, o si es realmente común, una referencia de este teorema? Muchas gracias.

Answer 1

De hecho, usted ni siquiera necesita el factor de $2$ no.

De hecho, tome $f_1=f \cdot 1_{\{x:\;|f(x)|> \| f\|_p\}}$$f_2=f \cdot 1_{\{x:\;|f(x)| \leq \|f\|_p\}}$.

Claramente, $\|f_2\|_{\infty} \leq \|f\|_p$, por definición.

Por otro lado, si $a,b$ son números reales positivos con $a>b$ $a/b>1$ (desde $p>2$) vemos que $(a/b)^p>(a/b)^2$, lo que significa que $a^2 < b^{2-p}a^p$. Por lo tanto si $|f(x)|>\|f\|_p$ luego de la aplicación de esta desigualdad con $a=|f(x)|$ $b=\|f\|_p$ vemos que $|f(x)|^2 < \|f\|_p^{2-p} |f(x)|^p$. Por lo tanto $$\|f_1\|_2^2 = \int |f_1|^2 \; d\mu \leq \int \|f\|_p^{2-p} |f|^p \; d\mu = \|f\|_p^2$$ which implies that $\|f_1\|_2 \leq \|f\|_p$.

Answer 2

Supongamos que $f\in L^p$ algunos $p\in(2,\infty)$. (Si $p=\infty$, simplemente tome $f_1=0$$f_2=f$.) En el caso en que $\|f\|_p=0$ es trivial (tome $f_1=f_2=0$), así que supongo que $\|f\|_p>0$. Vamos $$A\equiv\{x\in X\,|\,|f(x)|>2\|f\|_p\}$$ and define $f_1\equiv f\times\mathsf I_A$ and $f_2\equiv f\times \mathsf I_{A^\mathsf c}$. Clearly, $f=f_1+f_2$.

Por otra parte, $$|f_2|=|f|\times\mathsf I_{A^\mathsf c}\leq 2\|f\|_p$$ pointwise, so that $\|f_2\|_{\infty}\leq 2\|f\|_p$.

Además, uno tiene que (recuerde que $p>2$, por lo que no exponentes negativos están involucrados) $$|f|^p=|f|^{p-2}\times|f|^2\geq|f|^{p-2}\times|f|^2\times \mathsf I_{A}\geq 2^{p-2}\times\|f\|_p^{p-2}\times|f|^2\times \mathsf I_{A}=2^{p-2}\times\|f\|_p^{p-2}\times|f_1|^2.$$ Integrating both sides of this inequality yields: $$\|f\|_p^p\geq2^{p-2}\times\|f\|_p^{p-2}\times \|f_1\|_2^2.$$ Rearrange (division is possible since $\|f\|_p>0$) to obtain $$\|f_1\|_2^2\leq\frac{1}{2^{p-2}}\times \|f\|_p^2,$$ or, taking square roots, $$\|f_1\|_2\leq\frac{1}{2^{p/2-1}}\times \|f\|_p\leq2\|f\|_p.$$ The last inequality is implied by the fact that $p>2$.