Uniformemente continua homeomorphism en $\mathbb{R}^n$

Question

Deje $f:U\to\mathbb{R}^n$ ser un homeomorphism de un subconjunto abierto de $\mathbb{R}^n$ a $\mathbb{R}^n$ donde $f$ también es uniformemente continua. Mostrar que $U=\mathbb{R}^n$.

La solución que he encontrado aquí Uniformemente continua homeomorphism de conjunto abierto a $\mathbb{R}^n$. pero no entiendo la última parte de la aceptó respuesta: Desde $f$ es uniformemente continua con la imagen en un espacio métrico, $f$ puede ser ampliado continuamente $F:\overline{U}\to\mathbb{R}^n$. Si $U\not=\mathbb{R}^n$, $\overline{U}\not=U$ ($U$ es un buen clopen subconjunto de la conexión de espacio $\mathbb{R}^n$). Desde $f$ mapas de $U$ a $\mathbb{R}^n$, $F$ no puede ser inyectiva, lo que contradice $f$ ser un homeomorphism.

Estoy confundido acerca de la última línea. ¿Por qué hace esto contradice $f$ ser un homeomorphism. ¿Tiene algo que ver con la conexión? Sé $U$ y, por tanto, $\overline{U}$ debe estar conectado, pero ¿cuál es la contradicción?

Answer 1

Bajo el supuesto de condiciones, existen puntos de $x \in U$ $y \in \overline{U} \setminus U$ tal que $F(x) = F(y) = z$. A continuación, hay una secuencia $\{y_n\} \subset U$$y_n \to y$. Por la continuidad de $F$,$F(y_n) \to F(y) = z$. Por la continuidad de $f^{-1}$, $$y_n = f^{-1}(F(y_n)) \to f^{-1}(z) = x$$ Los límites de un espacio métrico son únicos, así que esto sólo podía ocurrir si $x=y$ lo cual es absurdo.