La construcción de un espacio de Hausdorff de un espacio topológico

Question

Deje $X$ ser un espacio topológico. Hay un espacio de Hausdorff $HX$ y una función continua $i:X\rightarrow HX$ tal que para todo espacio de Hausdorff $A$ y una función continua $j:X\rightarrow A$, existe una única función continua $f:HX\rightarrow A$ satisfacción $fi=j$.

$$\begin{array}{ccccccccc} X & \xrightarrow{i} & HX & \\\ & \searrow{j} & \downarrow{f} \\&&A \end{array}$$

Nota: he oído antes de que se libre de los objetos y de "izquierda adjoints" son en realidad la misma cosa (no estoy seguro). Ya no sé la definición de la izquierda adjoints y no de estudio de la categoría de teoría, sin embargo, elegí la frase de mi pregunta en la forma en que me siento más cómodo con.

Gracias

Answer 1

Deje $HX$ ser el cociente del espacio de $X/\sim$ donde $x\sim y$ fib $f(x)=f(y)$ por cada $f$ $X$ a un espacio de Hausdorff. Deje $q:X\to HX$ ser el cociente mapa.

Vamos a mostrar que $HX$ es Hausdorff: Tome $[x]\ne[y]\in HX$, es decir, para cada una de las $x,y$ que representa a estas clases no es un mapa de $f:X\to Y$ en un espacio de Hausdorff $Y$ tal que $f(x)\ne f(y)$. Hay distintos abrir conjuntos de $f(x)\in U,f(y)\in V$. A continuación, $f^{-1}(U)$ $f^{-1}(V)$ son disjuntas abrir barrios de $x$$y$. Suponga que $z\in f^{-1}(U)$$z\sim v$. Entonces, por definición de '$\sim$' tenemos $f(z)=f(v)$, por lo que llegamos a la conclusión de que $f^{-1}(U)$ $f^{-1}(V)$ $\sim$saturada de distintos bloques abiertos. De ello se desprende que $q(f^{-1}(U))$ $q(f^{-1}(V))$ son disjuntas abrir barrios de $[x]$$[y]$.

Ahora, suponga que $f:X\to Y$ es un mapa continuo en un espacio de Hausdorff. Siempre que $x\sim y$ también contamos $f(x)=f(y)$, por lo tanto no hay una única inducida por el mapa de $\tilde f:HX\to Y$ tal que $\tilde f\circ q=f$.

Esto muestra que la categoría de $\mathbf{Top}_2$ de los espacios de Hausdorff es un completo reflexivo subcategoría de $\mathbf{Top}$.

Answer 2

Lo que están diciendo es que el pleno de la subcategoría de los espacios de Hausdorff es un reflejo de la subcategoría de la categoría de espacios topológicos. Es decir, la inclusión functor $i: Haus \to Top$ ha dejado adjoint $H: Top \to Haus$, que a veces se llama Hausdorffification.

Una forma de ver existe una cosa es por la general adjunto functor teorema, cuya hipótesis se pueden comprobar fácilmente en este caso.

Answer 3

Hay varias construcciones para la máxima Hausdorff cociente, ver MO/78175 y MO/11191. Me gusta bastante el transfinito de la construcción. En realidad este es un caso especial de Kelly papel en transfinito construcciones, véase también el correspondiente nlab artículo.