Deje $\{A_i\}$ inverso sistema de (conmutativa, unital) Noetherian anillos con un determinado conjunto de índices. Es $\varprojlim A_i$ también un Noetherian anillo?
Respuestas
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La respuesta es no.
Deje $\varphi : k[x,y] \to k[x,y], f \mapsto f(x,0)$ y
$$A = \{ f \in k[x,y] ~|~ f(x,0) \in k \} = \varphi^{-1}(k).$$
$A$ es bien conocido por ser no-noetherian - $(y,xy,x^2y,x^3y, \dotsc)$ no es finitely generado - pero encaja en el siguiente cuadrado cartesiano (las flechas horizontales son inclusiones):
$$\requieren{AMScd} \begin{CD} A @>>> k[x,y]\\ @VV\varphi V @VV\varphi V \\ k @>>> k[x,y] \end{CD}$$
Fox
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Sí, porque $\varprojlim A_i$ es isomorfo a uno de los $A_i$ en el caso de un número finito dirigida conjunto de índices.
En la dirigida set $I$, cualquiera de los dos elementos debe tener un máximo, por lo tanto $I$ tiene un máximo de $i_0$ en el caso de que $I$ es finito. Por lo $i_0 \geq i$ todos los $i \in I$, y hemos anillo homomorphisms $\phi_i = \phi_{i,i_0}: A_{i_0} \rightarrow A_i$ todos los $i$. Compruebe que $$\varprojlim A_i = \{ (a_j) \in \prod\limits_{j \in I} A_j : a_i = \phi_i(a_{i_0}) \textrm{ for all } i \in I\}$$ You can then see that the projection homomorphism $\varinjlim A_i \rightarrow A_{i_0}$ es inyectiva y surjective.
