Mi pregunta es : encontrar la función de $f(t)$ que tiene la siguiente transformada de Laplace $$ F(s) = \frac{s+1}{(s^2 + 1)(s^2 +4s+13)} $$ gracias
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RecklessReckoner
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La fracción parcial de la descomposición es
$$\frac{1}{20} \cdot \left[ \frac{s+2}{s^2 + 1} \ - \ \frac{s+6}{[s+2]^2 + 3^2 }\right] \ , $$
omitiendo algo tedioso álgebra lineal $ ^* $ y completando el cuadrado en el denominador. La organización de esta interpretación que se produce
$$\frac{1}{20} \cdot \left[ \frac{s}{s^2 + 1} \ + \ \frac{2 \cdot 1}{s^2 + 1} \ - \ \frac{s+2}{[s+2]^2 + 3^2 } \ - \ \frac{\frac{4}{3} \cdot 3}{[s+2]^2 + 3^2 }\right] \ , $$
a partir de la cual podemos leer la transformada inversa de Laplace como
$$\frac{1}{20} \cdot \left[ \ \cos t \ + \ 2 \sin t \ - \ e^{-2t} \ \cdot \left( \cos 3t \ + \ \frac{4}{3} \cdot \sin 3t \right) \right] \ . $$
$ ^* $ todos los derechos, reviso esto después con WolframAlpha...
$$ \\ $$
ADDENDUM (6/19) --
Como para la configuración de la descomposición, se nota que los dos cuadrática factores en el denominador son "irreductibles sobre los números reales" (ambos tienen sólo el complejo conjugado de ceros). La suma de "fracciones" (en realidad, las funciones racionales) que hemos establecido involucran funciones lineales dividido por el irreductible cuadrática queridos de esa manera,
$$ \frac{As + B}{s^2 + 1} \ + \ \frac{Cs + D}{s^2 + 4s + 13} \ = \ \frac{s + 1}{(s^2 + 1 ) \cdot (s^2 + 4s + 13)} \ . $$
Esto nos deja a resolver para los cuatro coeficientes de satisfacciones
$$ (As + B) \cdot (s^2 + 4s + 13) \ + \ (Cs + D) \cdot (s^2 + 1) \ = \ s + 1 , $$
(así, por ejemplo, el cúbicos y cuadrática términos de "cero"), que demuestren ser
$$ A = \frac{1}{20} \ , \ B = \frac{1}{10} \ , \ C = - \frac{1}{20} \ , \ D = - \frac{3}{10} \ . $$
Voy a evaluar el uso de este tipo de residuos. Si usted no tiene ninguna idea de lo que estos son, entonces, solo voy a dar un fácil-a-entender resultado intermedio: si $f(s) = p(s)/q(s)$ $q$ tiene un cero en $s_0$, entonces el residuo de $f$ en el poste $s=s_0$ es
$$\frac{p(s_0)}{q'(s_0)}$$
La inversa de la LT de los
$$\hat{f}(s) = \frac{s+1}{(s^2+1)(s^2+4 s+13)}$$
es simplemente la suma de los residuos de $\hat{f}(s) e^{s t}$ en los polos. Los polacos aquí están en $s_1=i$, $s_2=-i$, $s_3=-2+i 3$, y $s_4=-2-i 3$. Yo te permitirá aplicar la fórmula anterior para calcular los residuos de $\hat{f}(s) e^{s t}$ y sumarlos. Obtengo el resultado final,
$$f(t) = - e^{-2 t}\left[ \frac{1}{15} \sin{3 t}+\frac{1}{20} \cos{3 t}\right] + \frac{1}{20} (\cos{t}+2 \sin{t})$$
