Cuál es la relación entre ZFC y axiomas de Peano? Están superpuestas, complementarios o independientes?
Estoy particularmente preguntándose si el número natural cosas como el orden puede expresarse en ZFC. Tal vez hay alguna manera de asociar el "menor" y "mayor que" los números como las de los cardenales o algo.
El sistema de dos no están relacionados de una manera directa. Axiomas de Peano venir a axiomatize aritmética, mientras que Zermelo–Fraenkel (con o sin opción) vienen a axiomatize las propiedades del conjunto teórico del universo.
Tampoco pretende "expresar lo que es un número natural". Para la aritmética, es con nosotros , quien dijo que tenemos un concepto de número natural, y parece que la satisfacción de estas propiedades. Y las propiedades fueron más tarde destilada en axiomas de Peano de segundo orden y, a continuación, el primer orden de la versión.
La teoría de conjuntos puede ser usado para codificar los números naturales, por lo general esto se realiza a través de los ordinales de von Neumann: los ordinales finitos satisfacen todos los axiomas de Peano. Pero desde ZFC nos proporciona un conjunto infinito, que bien podría ser el conjunto de todos los ordinales finitos (y si no, entonces se nos ofrece con los medios de prueba de que la colección de todos los ordinales finitos es en realidad un conjunto), que nos permite hacer más. Por ejemplo, ya que no es un modelo de los axiomas de Peano, la teoría es demostrado ser consistente, algo que no se puede hacer de Peano sí mismo.
Incluso más que eso. ZFC nos permite interpretar el segundo orden axiomas de Peano. Y en ese sentido, es mucho más fuerte en la definición de qué es un número natural. Por supuesto, la codificación de "objetos" en "conjuntos" no es único. Hay muchas maneras en que podemos pensar acerca de los números naturales como conjuntos, algunos son más naturales y otros menos, pero todos ellos son métodos válidos.
Lo que ZFC no resultar, sin embargo, es que cualquiera de los dos modelos de segundo orden PA son isomorfos en una manera única. Y en ese sentido, ZFC puede decir realmente lo que es un número natural.
Una última cosa, quizás, es el hecho de que la sustitución de el Axioma del Infinito con su negación, uno se transforma ZFC en una teoría que es equivalente a la de primer orden axiomas de Peano en un sentido muy fuerte.
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