$\forall x\in [0,1]$ si $f(t)f(t-x)$ es integrable, entonces $f(t)$ es integrable?

Question

El problema original (a partir de aquí el problema 8) es:

Deje $\alpha>\frac{1}{2}$ ser un número real. Demostrar que es imposible encontrar una función real $f$ tal que $$f(x)=1+\alpha\int_{x}^1f(t)f(t-x)dt$$ tiene para todos los $0\leq x\leq1$.

Mi solución: Integrar ambos lados de $x$ $0$ $1$y supongamos $s=\int_{0}^1f(x)dx$. A continuación, la igualdad se convierte en $s=1+\frac{1}{2}\alpha s^2$. Aplicar AM-GM para terminar la prueba.

Sin embargo, mi solución sólo funciona al $f(x)$ es integrable (en $[0,1]$).

Mi pregunta es: si la igualdad en el problema se mantiene, entonces $\forall x\in [0,1]$, $f(t)f(t-x)$ es integrable, así que es cierto que $f(x)$ es integrable? Si no es verdad, no hay una explícita contraejemplo?

Para todos los "integrable" aquí, creo que me refiero a "Riemann integrables". Yo no he estudiado el Lebesgue teoría, sin embargo.

Answer 1

Supongamos que la igualdad tiene para todos los $x$. En particular, en $x=0$ nos damos cuenta de que $$\|f\|^2_{L^2[0,1]} = \int_0^1 |f(x)|^2 \ dx < \infty.$$ Entonces por Cauchy-Schwarz para las funciones, $$ \int_0^1 |f(x)|\ dx = \langle |f|, 1\rangle_{L^2[0,1]}\leq \|f\|_{L^2[0,1]}\|1\|_{L^2[0,1]} = \|f\|_{L^2[0,1]} < \infty.$$

Por lo tanto, mientras $f$ (Lebesgue) medibles, la prueba de que funciona.