Giro de bosón vectorial de dimensión superior

Question

Un bosón vectorial $V^{\mu}, \mu = 0,...,3$ ha spin 1. A mi entender (que me corrija si estoy equivocado), esto es debido a que se transforma como un 4-vector en virtud de la transformación de Lorentz $SO(1,3)$. Por lo que el $\mu = 1,2,3$ componentes se forma una representación irreducible de $SO(3)$ subgrupo isomorfo a girar 1 representación de $SU(2)$, por lo tanto $V^{\mu}$ ha spin 1.

¿Qué pasa si tengo más que 1+3 dimensiones? que acaba de decir estoy en $1 + N$ dimensiones? Mi vector debe ahora ser $V^{M}$ donde $M = 0,1,...,N$ y la transformación de Lorentz es $SO(1,N)$. La lógica anterior dejará de funcionar debido a que el espacio de los componentes ahora se transforma en $SO(N)$ puro de rotación. Así que mi pregunta es: ¿Qué puedo decir acerca de la vuelta de $V^M$? Es 1? O algo más y por qué?

Answer 1

La vuelta de un bosón vectorial en cualquier dimensión de spin 1.

¿Qué cambia con el número de dimensiones es el número de grados de libertad asociados con una vuelta dada. Una masa vector de cuatro dimensiones tiene dos grados de libertad, que puede ser visto desde el rango de lo que se llama el "pequeño grupo" en la literatura. Es el subgrupo del espacio-tiempo de la simetría en virtud de la cual un ejemplar impulso para la representación permanece invariante. Para la masa de vectores en 4D este es un euclidiana grupo de rango 2. Usted también puede tratar de averiguar los posibles estados de polarización de un fotón.

En la 5D, el pequeño grupo de mejora para el grado 3 grupo, es decir, la 5D fotón tiene tres grados de libertad (después de calibre de fijación y todo). Todavía tiene spin 1, aunque.

Ahora lo que girar estamos hablando? Este giro es w.r.t. la rotación de grupo en 5D espacio de Minkowski. Si se realiza una reducción dimensional de esta representación, se verá que en 4D se descompone como $$\mathbf 1_5 \mapsto \mathbf 1_4 + \mathbf 0_4$$ lo que significa que una 5D vector se ve en 4D como un vector y un escalar. El escalar grado de libertad es exactamente cuando el "fotón" está polarizada en la dimensión extra.