¿Hay algún resultado inalcanzable?

Question

Espero que esta pregunta sea razonable y tenga sentido porque no estoy seguro.

La demostración de todo teorema consta de pasos lógicos finitos.

¿Puede una demostración del teorema requerir infinitos pasos lógicos?

Si es así, no podemos probarlo, ¿verdad?

Answer 1

Existe algo así como lógica infinita donde una prueba puede constar de infinitos pasos, convenientemente ordenados. Pero eso no es realmente la corriente principal, en el sentido de que no pretende ser un modelo útil del razonamiento matemático ordinario que se hace fuera de la lógica matemática.

Más convencional, es posible que haya oído hablar de Teorema de incompletitud de Gödel que dice que si se eligen algunos axiomas para razonar de una manera medianamente razonable (hay una definición técnica precisa de "medianamente razonable" que se aplica aquí, por supuesto), entonces habrá una afirmación $G$ de tal manera que ni $G$ ni $\neg G$ se puede demostrar. Eso no tiene nada que ver con las "pruebas infinitamente largas". Pero el teorema también viene con un argumento que $G$ es en realidad verdadero que se puede decir que es un ejemplo de "resultado inalcanzable". Lo que ocurre en realidad, por supuesto, si ese $G$ puede puede demostrarse (en un número finito de pasos) si sólo permitimos que la prueba utilice supuestos más fuertes que los del sistema para el que se demostró el Teorema de Incompletitud.

Answer 2

Según la definición habitual, una prueba es una secuencia finita de enunciados en algún lenguaje, donde cada enunciado es de longitud finita. Sin embargo, existe algo así como Lógica infinita .