Aunque el concepto de "simetría" es bastante intuitiva, me estoy dando cuenta que es difícil determinar exactamente lo que significa "simetrías del triángulo equilátero".
He aquí un ejemplo. Supongamos que tengo un triángulo equilátero $ABC$.
Uno de sus simetría en particular es la rotación alrededor de su centro por $120$ grados, lo que resulta en el mismo triángulo, pero con sus vértices intercambiar:
Pero aquí es donde se pone "fuzzy" (para mí). Si nuestro "marco de referencia", o "punto de vista", también de gira por $120$ grados, entonces lo que vamos a ver es el primer triángulo, y la rotación habría tenido ningún efecto.
Así que al hablar acerca de las simetrías de figuras geométricas, no estamos suponiendo implícitamente que tenemos para quedarse, y no cambiar nuestro punto de vista? Yo soy la esperanza que estoy haciendo tiene sentido.
Para formalizar el concepto de "arreglar nuestro punto de vista", de etiquetar los vértices de nuestro triángulo, y decir que "la rotación por $120$ grados" significa simplemente que el mapa abstracto $\begin{pmatrix}A&B&C\\B&C&A\end{pmatrix}$.
O podríamos argumentar que es el mapa del avión $f: \mathbf{R}^{2} \to \mathbf{R}^{2}$, que conserva las propiedades de un triángulo equilátero, pero de nuevo, lo que realmente estamos haciendo es convertir a los vértices de los números, y componiendo mapas entre estos números.
En mi opinión, estos son más precisas declaraciones, porque se puede escribir, componer las simetrías, la construcción de la tabla de Cayley, etc., pero el intuitivo los procesos de "rotar alrededor del centro", "reflejar en el medio", y "traducir por un par de unidades" se parecen como los fantasmas de nuestra intuición. No hay mucho que podemos hacer con ellos.
Si no ponemos etiquetas en el triángulo, no hay manera de razonar acerca de sus simetrías. No tiene características distintivas. Por ejemplo, si no nos etiqueta en el avión, con los números reales para hacerla $\mathbf{R}^{2}$, no podemos hablar sobre el plano de rotación, reflejo, de la esquila, expansión, etc., porque mire el mismo, no importa lo que hacemos. Ningún punto del plano se da prioridad sobre el otro.
Así que estoy en lo cierto al decir que el pensamiento sobre simetrías geométricas de los objetos es puramente para la motivación, pero cuando todo se reduce a que el estudio riguroso de los grupos de estudio, digamos, el resumen de permutaciones de un conjunto de letras $\{A,B,C \}$? En este caso, el problema que se me plantea se desvanece. Pero mi confusión sólo podría provenir de un enorme, pero simple, de la incomprensión.
