Suma de varias series que involucran números de Fibonacci

Question

Calcular la suma $$\sum_{a_{2015} = 0}^{\infty} \sum_{a_{2014} = 0}^{a_{2015}} \sum_{a_{2013} = 0}^{a_{2014}} \cdots \sum_{a_{1} = 0}^{a_2} \sum_{k=0}^{a_1} \frac{F_{k}}{2^{a_{2015}}}$$ where $F_k$ denotes the $k$th Fibonacci number ($F_0 = 1$, $F_1 = 1$, $F_{n} = F_{n-1} + F_{n-2}$).

No tengo idea de cómo empezar! Cualquier ayuda sería muy apreciada.

Answer 1

Es bien sabido que $1/(1-x-x^2)$ es la generación de la función de los números de Fibonacci. Observar que $$c_n = \sum_{a_{2014}=0}^{n} \sum_{a_{2013} = 0}^{a_{2014}} \cdots \sum_{k=0}^{a_1} F_k$$ is the coefficient of $x^n$ in the power series expansion of $$f(x) = \frac{1}{(1-x)^{2015} (1-x-x^2)}$$ The desired sum is $$\sum_{n=0}^{\infty} \frac{c_n}{2^n} = f(1/2) = 2^{2017}$$