Ayudar a la comprensión de tensoring de secuencias exactas

Question

Estoy leyendo la prueba de los hechos siguientes:

Sea a un anillo, un ideal de a, M un a-módulo. A continuación, $(A/a) \otimes_{A} M$ es isomorfo a M/aM.

Así que la solución es el tensor de la secuencia exacta $0 \rightarrow a \rightarrow A \rightarrow A/a \rightarrow 0$ con M.

Esto induce a una secuencia exacta:

$a \otimes_{A} M \rightarrow A \otimes_{A} M \rightarrow (A/a) \otimes_{A} M \rightarrow 0$

Una pregunta:

¿Por qué es $a \otimes_{A} M \cong aM$ ? ¿Por qué es este "claro y evidente" que yo.e ¿cómo nos ven rápidamente?

Acabo de empezar a leer sobre el producto tensor de módulos y tiene problemas para ver qué tal isomorphisms son naturales, estoy seguro de que hay un "rápido" de camino a ver a ellos, así que ¿por qué esto está claro? ¿hay alguna otra manera de pensar acerca del producto tensor además ha sido el cociente de un módulo por un conjunto de generadores?

Gracias

Answer 1

El isomorfismo $A \otimes_A M \to M$ es mediante el envío de $a \otimes m \to am$. En virtud de este isomorfismo, la imagen de $\mathfrak{a} \otimes M$$\mathfrak{a}M$.

Answer 2

Que el natural mapa de $a \otimes_A M \rightarrow aM$ ser un isomorfismo está muy lejos de ser "claro y evidente". Como otros han señalado, no es cierto en general. Pero aún más, puede ser visto como la totalidad de la obstrucción del functor "tensoring con $M$" ser exactos. En otras palabras, si para todos los ideales de a $a$ $A$ (de hecho, es suficiente incluso para restringir a finitely generado ideales) el mapa de $a \otimes_A M \rightarrow aM$ es un isomorfismo, entonces el módulo de $M$ es plana y tensoring cualquier inyección con $M$ da una inyección. Véase, por ejemplo, $\S 3.11$ de mi álgebra conmutativa notas, donde he estado y probar este (conocido) de resultado, que yo llamo el Tensorial Criterio de la Planicidad.

Answer 3

Desde $a \otimes_{A} M \rightarrow A \otimes_{A} M \rightarrow (A/a) \otimes_{A} M \rightarrow 0$ es exacta,
la segunda función en la secuencia de $g:A \otimes_{A} M \rightarrow (A/a) \otimes_{A} M $ es surjective. Por otra parte, la imagen de $f:a \otimes_{A} M \rightarrow A \otimes_{A} M $$f(a \otimes_{A} M)$, es el núcleo de $g$.
Por el primer teorema de isomorfismo para los módulos

$A \otimes_{A} M/f(a \otimes_{A} M) \cong (A/a) \otimes_{A} M $ (1)

Ahora, si $h: S \rightarrow T$ es un isomorfismo de los módulos, y $S'$ es un submódulo de $S$, tenemos $S/S'\cong T/h(S')$ (2)
que se puede demostrar aplicando de nuevo el teorema de isomorfismo a la función de proyección de $S\rightarrow T/h(S')$.

Desde $h:A \otimes_{A} M\rightarrow M$ , definido por $h(a\otimes_{A} m)=am$ es un isomorfismo y $h(f(a \otimes_{A} M))=aM$, se sigue por (2) que

$A \otimes_{A} M/f(a \otimes_{A} M) \cong M/aM$ (3)

Finalmente, (1) y (3) demostrar su requisito.

Otra prueba puede ser determinado utilizando la característica universal del producto tensor se mencionó anteriormente.

Answer 4

Como se ha mencionado por curiosidad, la inducida por la secuencia es, en general, no es exacto por la izquierda, aunque es exacto que en los otros dos lugares. Pero como curiosidad y Soarer punto, la imagen del mapa de la izquierda es $aM$ bajo el isomorfismo $A\otimes_A M \cong M$, y, a continuación, exactitud en los otros dos lugares donde le da el isomorfismo que desee.

¿hay alguna otra manera de pensar acerca del producto tensor además ha sido el cociente de un módulo por un conjunto de generadores?

Sí! De hecho, es mucho más útil, si más abstracto, la forma de pensar del tensor de productos. Deje $A$ ser un anillo conmutativo, y deje $M,N,Z$ $A$- módulos. (Análogo declaraciones de albergar a más no conmutativa los anillos, pero la formulación no es tan limpia). Una $A$-bilineal mapa de $b:M\times N\to Z$ es un mapa de conjuntos tales que para cada una de las $m\in M$ y cada una de las $n\in N$, los mapas de $b(m,-):N\to Z$ $b(-,n):M\to Z$ $A$- lineal.

Bilineal mapas aparecen por todo el lugar; usted puede pensar en ellos como "generalizada multiplicaciones" -- para cualquier $A$-álgebra $R$, su multiplicación $R\times R\to R$ $A$- bilineal. Tenga en cuenta que un bilineal mapa de $M\times N\to Z$ no $A$-lineal con respecto a la habitual $A$-módulo de estructura en $M\times N$. Eso es muy malo, porque siempre es bueno tener las cosas sean lineales. Para "corregir" este, el producto tensor $M\otimes_A N$ es exactamente el $A$-módulo que bilineal mapas de $M\times N\to Z$ son la misma cosa, como lineal mapas de $M\otimes_A N\to Z$.

Más precisamente, $M\otimes_A N$ se caracteriza por los siguientes universal de los bienes: si $Q$ $A$- módulo de e $b:M\times N\to Q$ $A$- bilineal mapa, entonces no hay una única $A$-lineal mapa de $\tilde b:M\otimes_A N\to Q$ tal que $\tilde b(m\otimes n) = b(m,n)$ todos los $(m,n)\in M\times N$.

Así, por ejemplo, si $R$ $A$- álgebra, entonces la multiplicación de $R$ $A$- lineal mapa de $R\otimes_A R\to R$. De hecho, esto le permite frase de los axiomas de un álgebra asociativa completamente en términos de la linealidad de los mapas, que es una cosa útil para hacer, por ejemplo, si usted quiere hablar acerca de "el álgebra de los objetos", en otras categorías de la categoría de $A$-módulos.