Demostrar $\exp: \Bbb C \to \Bbb C^\times$ es surjective

Question

Definimos el complejo de la función exponencial: $$\begin{array}{rcl} \exp:\Bbb C &\to& \Bbb C^\times \\ z &\mapsto& \exp(z)=\displaystyle{\sum_{n=0}^\infty \frac{z^n}{n!}.} \end{array}$$

Yo wan't para mostrar que este mapa es surjective. Mi idea es mostrar que el real exponencial $\exp|_\Bbb R$ mapas surjectively a $(0,\infty)$, a continuación muestran que la $\{\exp(ix)\,|\, x\in \Bbb R \} = \Bbb S^1$ y la conclusión de $\exp(\Bbb C)=(0,\infty)\cdot\Bbb S^1 = \Bbb C^\times$.

Esto funciona debido a que para cualquier $z=a+ib \in \Bbb C$ tenemos $\exp(z)=\exp(a+ib)=\exp(a)\exp(ib)$. Esto es fácil de demostrar, mediante la definición y el producto de cauchy de la regla para la serie.

Para mostrar que $\text{Im}(\exp|_\Bbb R)=(0, \infty)$, nos damos cuenta de que $\exp(x)>1+x$$x>0$$\exp(0)=1$. Por lo $\exp|_\Bbb R$ toma cualquier valor en $[1,\infty)$ por el teorema del valor intermedio. Desde $\exp(-z)=\exp(z)^{-1}$ cualquier $z\in \Bbb C$, también toma cualquier valor en $(0,1)$.

Lamentablemente no sé cómo mostrar la segunda parte, es decir,$\{\exp(ix)\,|\, x\in \Bbb R \} = \Bbb S^1$.

Aclaración: yo no tienen representación polar, trigonometría o cualquier "herramientas avanzadas" todavía. Sólo el poder de la serie de la definición de $\exp$ y un análisis básico.

Answer 1

Este es un fenómeno general que va como sigue. Supongamos que $f : G\to H$ es un grupo continuo homomorphism con abrir conectado imagen en $H$. A continuación, $f$ es surjective.

Concretamente, voy a demostrar que $\exp : \mathbb C\longrightarrow \mathbb C^\ast$ ha abierto la imagen y, a continuación, tenga en cuenta que un abierto no vacío de los subgrupos de la conexión de un grupo topológico deben ser todas de la misma.

A ver $\exp$ ha abierto la imagen, tenga en cuenta que podemos definir una función de $\lambda : B(0,1)\longrightarrow \mathbb C$ tal que $\exp\lambda(z)= 1+z$, por lo que el $B(1,1)\subseteq \exp(\mathbb C)$. Explícitamente, $\lambda(z)$ se define como la costumbre powerseries para $\log(1+z)$ alrededor del origen.

Desde $\exp(\mathbb C) = z\exp(\mathbb C)$ para cualquier valor distinto de cero compleja $z\in \exp(\mathbb C)$, podemos ver que $B(z,|z|)\subseteq \exp(\mathbb C)$ cualquier $z\in\exp(\mathbb C)$, por lo que, de hecho, $\exp(\mathbb C)$ está abierto.

Ahora supongamos $f : G\to H$ es como en el primer párrafo, es decir, $f$ es una función continua $G\to H$ que es también un homomorphism de grupos, y $f(G)$ es abierto y conectado en $H$. Tenga en cuenta que desde $f$ es un homomorphism, $f(G)$ es un subgrupo de $H$.

Deje $A =f(G)$ denotar y deje $B$ ser el complemento de $H\smallsetminus A$. Desde $A$ está abierto, para cada una de las $h\in H$ el conjunto $hA$ es abrir y, a continuación, $H = \bigcup_{h\in H} hA = A\cup B$ está abierto: recordar que un grupo de $H$ es siempre distinto de la unión de cosets de cualquier subgrupo.

A continuación, $B$ también está abierto y $H = A\cup B$. Desde $H$ está conectado y $A$ es no vacío, $B=\varnothing$$A=H$, lo que muestra que $f$ es surjective, como queríamos.

Answer 2

Tal vez esto podría ayudar.

Para cada una de las $z \in \mathbb{C}$, podemos escribir $z = r \exp(i \vartheta)$, para algunas de las $r >0$$\vartheta \in \mathbb{R}$.

Con esto en mente, si que en lugar de escribir $z = x+iy$, vemos que $$e^z = e^{x+iy} = e^x \cdot e^{iy},$$ where $x,y \in \mathbb{R}$. Notice that $e^x >0$ for all $x$ and $s \in \mathbb{R}$. By letting $r = e^x$ and $y = \vartheta$, we get the parallel between $e^z$ y la forma polar de un número complejo distinto de cero.

Déjeme saber si usted tiene alguna pregunta.