¿Cuáles son los subespacios invariantes

Question

Estoy tratando de encontrar todos los subespacios de $\Bbb F^n$ (donde $\Bbb F$ $\Bbb R$ o $\Bbb C$) invariantes bajo $\Phi$ donde $\Phi:\Bbb F^n\to \Bbb F^n$ está dado por

$$\Phi(x_1,\dots, x_n) = (x_1,2x_2, \dots, nx_n)$$

Ya he averiguado que los subespacios propios tienen la forma $\operatorname{span}(0,\dots, 0,1,0,\dots, 0)$ cuando la $1$ $i$th posición para todas las $i\in \{1,\dots, n\}$. Así que estas son todas las $1$-dimensiones de los subespacios invariantes. Más allá de estas y los dos trivial subespacios invariantes, cada suma de los $1$-dimensiones de los subespacios debe ser un subespacio invariante así. Por ejemplo, el subespacio $$\operatorname{span}(1,0,\dots, 0) + \operatorname{span}(0,1,0,\dots, 0) = \text{the $xy$-plane}$$ deben ser invariantes así.

Así que puedo concluir que cada subespacio de $\Bbb F^n$ es un subespacio invariante bajo $\Phi$? O hay subespacios de $\Bbb F^n$ que no puede ser escrito como la suma de los tramos de la norma vectores de la base? Y si me estoy olvidando de algunos (como creo que soy yo), ¿cómo puede estar seguro de que me he metido todos los subespacios invariantes o encontrar la que más me he perdido?

Gracias.

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Edit: Como he aprendido de Marca en los comentarios, es evidente que no se puede concluir que cada subespacio de $\Bbb F^n$ es un subespacio invariante bajo $\Phi$. Entonces, ¿cómo puedo descartar cualquier subespacios, que no son una suma de los tramos de la base de vectores o encontrar los subespacios de que me estoy perdiendo hasta ahora?

Edit 2: sólo he vuelto a subespacios propios/ subespacios invariantes. No sé lo que es un polinomio mínimo es o qué diagonalisable mapa.

Answer 1

Supongamos $U\leqslant \mathbb{F}^n$ $\Phi$- invariante, y considerar la restricción de $\Phi$$U$, que se denota decir $\Psi$. Entonces, el polinomio mínimo de a $\Psi$ divide el polinomio mínimo de a $\Phi$; por lo tanto es también un producto de distintos factores lineales, por lo que el $\Psi$ es diagonalisable. Es decir, $U$ es la suma directa de los subespacios propios de a $\Psi$; pero cada subespacio propio de $\Psi$ es un subespacio propio de $\Phi$. Por lo tanto $U$ es uno de los $2^n$ sumas posibles de la $n$ subespacios propios de a $\Phi$.

Answer 2

Ya ha averiguado todo el subespacio generado por los vectores propios son invariantes. Y vaya un paso más allá, tomar cualquiera de los dos vectores propios, el subespacio generado por dos vectores propios también son invariantes. Y en general, el subespacio generado por los vectores propios son invariantes.