Convergencia uniforme del máximo de una secuencia de funciones

Question

Dejemos que $K$ sea un espacio métrico compacto, y $\{f_n\}_{n \in \mathbb{N}}$ es una familia de funciones uniformemente acotada y equicontinua. Definir $$g_n(x) = \max \{f_1(x),f_2(x),\ldots,f_n(x)\}.$$ Demostrar que $g_n$ converge uniformemente en $K$ .

Creo que esto se debe al hecho de que $g_n$ es equicontinuo (basta con tomar los deltas más pequeños para $g_n$ ) y $g_n$ está uniformemente acotado. Ergo, tiene una subsecuencia convergente por Arzela-Ascoli. Es entonces un argumento simple para demostrar que si alguna subsecuencia de $g_n$ converge, también lo hace toda la secuencia.

¿Es un argumento justo?

Answer 1

Una pista.

Otra prueba que no utiliza el teorema de Arzela-Ascoli.

$(g_n)$ es una secuencia creciente de funciones uniformemente acotadas. Por lo tanto, converge a una función $g$ que se define para todos los puntos del compacto $K$ .

Utilizando la equicontinuidad, se puede demostrar que $g$ es continua. Finalmente puede utilizar Teorema de Dini o probarlo para este caso concreto.