Dividiendo Los Dos Infinitos

Question

Tengo Curiosidad de saber si el siguiente es matemáticamente correcta:

Deje $a$ ser el conjunto infinito de todos los números enteros no negativos $0,1,2,3...$.

Deje $b$ ser el conjunto infinito de todos los números enteros no negativos $0,2,4,6...$.

Si me tome la suma de $a$ y se divide por la suma de $b$ obtengo 2?

Es esto correcto? Se puede dividir infinitos como este?

Si sí, ¿significa esto que la SUMA de $a$ > SUM $b$ (a pesar de que ambos son infinitos)?

(si esto no es posible se puede hacer algún tipo de equivalente de la división mediante la asignación de conjuntos?)

Answer 1

Es matemáticamente incorrecto, pero la idea es intuitivamente buena en ciertos contextos. La forma correcta de decir las cosas es que todo depende de la forma de tomar los límites. Dado que tanto la serie de la suma de los infinitos términos, usted necesita para hacer que su resultado "$2$" precisa. Por ejemplo, $$ \lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{i=0}^{n} 2i }{\sum_{i=0}^n i} $$ es probablemente lo que usted tenía en mente cuando usted piensa de el resultado de ser "dos". Por supuesto, este límite es el que vale por dos, pero no podemos decir que $$ \lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{i=0}^{n} 2i }{\sum_{i=0}^n i} = \frac{\lim_{n \to \infty} \sum_{i=0}^n 2i}{\lim_{n \to \infty} \sum_{i=0}^n i} $$ debido a que los dos "cosas" en el numerador y el denominador no son números, por lo que su relación no es a priori definido. Para entender lo que quiero decir mejor, aviso que si lo modificamos un poco las cosas :P , no es difícil mostrar que $$ \lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{i=0}^{n} 2i }{\sum_{i=0}^{n^2} i}= 0, \qquad \lim_{n \to \infty} \frac{\sum_{i=0}^{n^2} 2i }{\sum_{i=0}^{n}}= \infty. $$ Espero que ayude,

Answer 2

Como se señaló en los comentarios, tu serie son divergentes, por lo que sus sumas no están definidos.

Sin embargo, si usted tiene un convergentes serie infinita, decir $b_1 + b_2 + b_3 \cdots$ converge a $S$, e $c$ es una constante, entonces $cb_1 + cb_2 + cb_3 + \cdots$ converge a $cS$.

Por otra parte, una segunda serie de $a_1 + a_2 +a_3 \cdots$ si $0 \le a_n \le b_n$ todos los $n$, el segundo de la serie $a_1 + a_2 + a_3 + \cdots$ converge a un valor menor o igual a $S$. Esto se conoce como la prueba de comparación de series infinitas.

Answer 3

Usted no puede dividir la suma de los elementos de $a$ por la suma de los elementos de $b$. La razón es que lo que esperamos de nuestros "normal" de las reglas de la suma, la resta, la multiplicación y la división llegar a ser muy difícil cuando el infinito se convierte involucrados.

Esto se ve muy comúnmente en un número de engañoso, pero aparentemente correcta manipulaciones. Consideremos, por ejemplo, la infinita suma $$S = 1 + 2+ 4 + 8 + 16 + \cdots$$

Ahora multiplique $S$ por 2 para encontrar $$2S = 2 + 4 + 8 + 16 + \cdots = S - 1$$

Esto implicaría que $S = -1$, que es una conclusión absurda de verdad!

La matemática está llena de ejemplos como este, donde los infinitos son difíciles de administrar y deben ser manejados con cuidado excepcional. Para obtener más ejemplos como estos, las excelentes notas del Dr. Tao son bastante informativo:

http://www.math.ucla.edu/~tao/recursos/general/131ah.1.03 w/semana1.pdf

Answer 4

Yo asumo que usted no sabe mucho acerca de la teoría de los números, así que estoy muy adecuado para responder a usted, además de ser un aficionado.

No se puede sumar hasta un número infinito de números naturales. Usted puede tomar la suma de los n primeros números, S1(n) y dividir el uno con el otro, S2(n) y, a continuación, dividir para obtener S1(n)/S2(n) y el encontrar un límite cuando n va a la eternidad, lo que significa que no cambio mucho, ya que n va más y más grande. En algunos casos, usted puede hacer esto, pero la serie que se han sumado a consistir en más y más pequeño de los términos, y sólo algunos de los que se va trabajar. 1+1/2+1/4 +1/8 se puede resumir pero 1+1/2+1/3+1/4... no.