Dejemos que $k$ sea un campo algebraicamente cerrado. Sea $X$ sea la variedad cuasi-afín $X = A^2 - \{0,0\}$ . Sé por argumentos analíticos complejos que el anillo de funciones regulares sobre $X$ es igual a $k[x,y]$ . ¿Cómo puedo demostrar esto algebraicamente?
Gracias
El anillo de funciones regulares sobre $A^2 \setminus \{ x=0 \}$ es $k[x,y,x^{-1}]$ y el anillo de funciones regulares sobre $A^2 \setminus \{ y=0 \}$ es $k[x,y,y^{-1}]$ y $A^2 \setminus \{0\}$ es la unión de estos subconjuntos abiertos, por lo que su anillo de funciones regulares es la intersección de los dos, que es igual a $k[x,y]$ .
Plop, no entiendo por qué este anillo es la intersección de estos dos anillos. La definición de función regular es local, por lo que sabemos que hay una representación local en cada uno de estos subconjuntos abiertos, pero puede ocurrir que una función regular en $X$ tiene dos representaciones diferentes en cada uno de estos conjuntos abiertos. ¿Cómo sabes que este anillo es la intersección dada? ¿Cómo sabes que las dos "representaciones" de dicha función coinciden?
Esto viene de los axiomas de la gavilla es.wikipedia.org/wiki/Sheaf_%28mathematics%29 Para dar una función en $A^2 \setminus \{0 \}$ es lo mismo que dar funciones sobre una cubierta, que coinciden en las intersecciones.
La respuesta de Plop es correcta, pero voy a intentar explicarlo un poco más. Sé lo confundido que estás. Asumo que estás usando la Teoría del Esquema.
Por definición, $\mathbb{A}^2_k=\text{Spec }k[x,y]$ . El origen del plano viene dado por el ideal máximo $(x,y)$ . Sea $X=\text{Spec }k[x,y] \setminus (x,y)$ . Entonces $X=D(x) \cup D(y)$ . Tenemos una cubierta afín para $X$ . Por la definición de la gavilla, una función sobre $\mathcal{O}_{\mathbb{A}^2_k}(X)$ puede representarse como un par ordenado de una función en $\mathcal{O}_{\mathbb{A}^2_k}(D(x))$ y el otro en $\mathcal{O}_{\mathbb{A}^2_k}(D(y))$ que coincide en la intersección $\mathcal{O}_{\mathbb{A}^2_k}(D(x)\cap D(y))$ . El "coincide" significa que son iguales después de aplicar el mapa de restricción.
Ahora, sabemos que $\mathcal{O}_{\mathbb{A}^2_k}(D(x))=k[x,y]_x=k[x,y,\frac1x]$ y $\mathcal{O}_{\mathbb{A}^2_k}(D(y))=k[x,y]_y=k[x,y,\frac1y]$ . Desde $D(x)\cap D(y)=D(xy)$ obtenemos $\mathcal{O}_{\mathbb{A}^2_k}(D(x)\cap D(y))=k[x,y]_{xy}=k[x,y,\frac{1}{xy}]$ .
Lo que tienes que hacer ahora es demostrar que si tienes una función $f\in k[x,y,\frac1x]$ y $g\in k[x,y,\frac1y]$ que coincide en $k[x,y,\frac{1}{xy}]$ deben ser iguales y pertenecer a $k[x,y]$ . Recuerda que, en este caso, el mapa de restricción es un mapa de localización.
Este es un ejemplo importante porque es uno de los primeros (y quizá el más sencillo) ejemplos de un esquema no afín. ¿Se da cuenta de por qué?
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