Probar Que A = (A\B) ∪ (A ∩ B)

Question

Tengo que demostrar esta fórmula:

Probar Que A = (A\B) ∪ (A ∩ B)

Pero a mí me parece que es falso.

(A\B) ∪ (A ∩ B)

• X ∈ A/B => { x ∈ A y x ∉ B }

o

• X ∈ A ∩ B => { x ∈ A y x ∈ B }

---

así:

x ∈ A ∩ B

así: UN ≠ (A\B) ∪ (A ∩ B)

No me resuelven el problema o yo estoy ciego?

Answer 1

Para demostrar que dos conjuntos son iguales, muestran que tienen los mismos elementos.

En primer lugar, imaginemos $x\in A$. Hay dos casos: O $x\in B$ o $x\notin B$. En el primer caso, $x\in A$$x\in B$, lo $x\in A\cap B$ (por definición de intersección). En el segundo caso, $x\in A$$x\notin B$, lo $x\in A\setminus B$ (de nuevo, por definición).

Esto muestra que si $x\in A$, $x\in A\cap B$ o $x\in A\setminus B$, es decir, $x\in (A\setminus B)\cup(A\cap B)$.

Ahora tenemos que mostrar, por el contrario, que si $x\in (A\setminus B)\cup(A\cap B)$,$x\in A$. Tenga en cuenta que $x\in(A\setminus B)\cup(A\cap B)$ significa que cualquiera de las $x\in A\setminus B$ o $x\in A\cap B$. En el primer caso, $x\in A$ (y también, $x\notin B$). En el segundo caso, $x\in A$ (y también, $x\in B$). En cualquier caso, $x\in A$, pero esto es lo que necesitábamos.

En resumen: se han demostrado tanto en$A\subseteq (A\setminus B)\cup(A\cap B)$$(A\setminus B)\cup(A\cap B)\subseteq A$. Pero esto significa que los dos conjuntos son iguales.

Answer 2

Para mostrar el conjunto de la igualdad de mostrar $\supset$, $\subset$ respectivamente.

$\subset$:

Deje $x \in A$. A continuación, $x$ $A \cap B$ o en $A \cap B^c = A - B$, lo $x \in (A \cap B) \cup (A - B)$.

$\supset$:

Deje $x \in (A \cap B) \cup (A - B)$. A continuación, cualquiera de $x$ $ A \cap B$ o x en $A \cap B^c$. Pero en ambos casos $x \in A$, por lo $x \in A$.

Answer 3

$\rm\ A\backslash B\ =\ A\cap\overline B\ \ \:$ $\rm\ \: (A\backslash B)\cup (A\cap B)\ =\ (A\cap\overline B)\cup(A\cap B)\ =\ A\cap(\overline B\cup B)\ =\ A$

Answer 4

Trabajar dentro de un universo $X$: $$A = A \cap X = A \cap (B \cup (X \setminus B)) = ( A \cap B ) \cup ( A \cap (X \setminus B)) = (A \cap B) \cup (A \setminus B)$$

Answer 5

Deje $x \in A$. A continuación, $x \in A \backslash B$ o $x \in A \cap B$. Del mismo modo, si $x \in A \backslash B$ o $x \in A \cap B$$x \in A$.