Confusión con potencial en el péndulo simple

Question

Soy un estudiante de matemáticas de tomar un curso de mecánica clásica y estoy teniendo un poco de confusión con la definición de un potencial.

Si consideramos que un péndulo simple, a continuación, las fuerzas que actúan sobre el final se $mg$$T$. Ahora sé que el potencial está definido de tal forma que $F = -\nabla V$. Ahora también sé que la energía total de este sistema es $$\frac{1}{2}m \dot{\vec{x}}^2 + mgz.$$ Now if we take the gradient of the potential we have $(0,0,mg)$. Mi pregunta es, ¿por qué no el potencial de involucrar a la tensión en el péndulo?

Answer 1

Desde la perspectiva de la mecánica de Lagrange, la tensión de $T$ es una restricción de la fuerza, que no realiza ningún trabajo virtual. Puede usted ver por qué? Por lo tanto puede ser ignorado en la formulación de Lagrange, cf. D'Alembert del principio. Véase también por ejemplo, este Phys.SE post. La única fuerza en la formulación de Lagrange es la gravedad, que nos codificar a través de su correspondiente potencial de $V=mgz$.

Answer 2

Por lo que he visto que $\frac{1}{2} m \dot{\vec{x}}^2+ mgz$ no describe todo. Ahora vamos a aprender acerca de cómo pasar de una fórmula casi como este para las ecuaciones de movimiento más tarde, pero vamos a pasar por alto que para un poco. Digamos que hay un potencial de $U(\vec{x})$ que es cero en el círculo, y fuera de la circunferencia es igual a una constante $k$ veces la distancia más corta al círculo, cuadrado.

Esto es como un péndulo rígido. Imagine $k$ cada vez más grande y más grande. Debido a la conservación de la energía, el punto en cuestión es limitado a sólo mover dentro de una cierta distancia de la curva deseada. Como $k$ hace más y más grande, esta distancia de restricción se reduce. Como $k\to \infty$, la distancia se reduce a $0$.

Ahora, en esta idealización, cuando la partícula está en el camino, $U(x)$ es - en este limitar el sentido de cero en el círculo infinito y en todas las demás. Hay pruebas matemáticas que esto funciona (o discusiones de él) en Arnold, Métodos Matemáticos de la Mecánica Clásica.

La intuición física detrás de esto es que usted puede tener un montón de fuerza sin ningún tipo de energía. Si comprime el agua tan duro como usted puede, cuando se libera, usted no notará nada. Si usted comprimir el aire tan duro como usted puede, cuando se libera, puede haber una gran explosión.