$\int_{-\infty}^{\infty} e^{tx} \frac{1}{\pi(1+x^2)} \mathrm dx$

Question

que maneras de calcular esta integral:

$$ \int_{-\infty}^{\infty} e^{tx} \frac{1}{\pi(1+x^2)} \mathrm dx $$

para los diferentes casos de t. t puede ser cualquier valor en $\mathbb{R}$. Me he quedado atrapado en cómo obtener la antiderivada de el integrando. Gracias!

Answer 1

Al $t \neq 0$, la primera integral diverge y la segunda converge sólo si $t < 0$. En el último caso, si usted llame a su integral $f(t)$, entonces la diferenciación bajo el signo integral que da $$f''(t) + f(t) = \int_0^{\infty} {e^{tx} + x^2e^{tx} \over \pi(1 + x^2)}$$ $$ = {1\over \pi} \int_0^{\infty}e^{tx}$$ La última integral se integra a ${\displaystyle-{1 \over t}}$, por lo que ha ${\displaystyle f''(t) + f(t) = -{1 \over \pi t}}$. Esto puede ser resuelto a través de la variación de los parámetros, y (según wolframalpha al menos) no tiene una escuela primaria de expresión.

Por otro lado, la nonelementary funciones en la solución de involucrar a las integrales indefinidas de ${\displaystyle {\sin(t) \over t}}$${\displaystyle{\cos(t) \over t}}$, así que si quieres hacer algo esta avanzada usted puede ser capaz de obtener algo satisfactorio utilizando las condiciones iniciales de esta ecuación diferencial.

Answer 2

Correspondientemente a Zaricuse segundo párrafo, de acuerdo a este (véase la fórmula antes de que el último), para cualquier $s > 0$, $$ \int_0^\infty {e^{ - sx} \frac{1}{{\pi (1 + x^2 )}}\,{\rm d}x} = \frac{1}{\pi } \Big \lbrace \cos (s)\Big[\frac{\pi }{2} - {\rm Si}(s)\Big] - \sin (s){\rm Ci}(s)\Big \rbrace, $$ donde ${\rm Si}(s) = \int_0^s {\frac{{\sin u}}{u}} \,{\rm d}u$ es la Integral del Seno, y ${\rm Ci}(s) = \int_s^\infty {\frac{{\cos u}}{u}\,{\rm d}u}$ el Coseno Integral.

EDIT: Probabilística de la interpretación de las integrales.

La función $f(x) = \frac{1}{{\pi (1 + x^2 )}}$, $x \in \mathbb{R}$, es la función de densidad de una norma de Cauchy variable aleatoria $X$. El divergentes integral $$ {\rm E}[e^{tX}] = \int_{ - \infty }^\infty {e^{tx} f(x)\,{\rm d}x} = \infty, \;\; t \neq 0, $$ corresponde exactamente a la (primaria) hecho de que el momento de generación de la función de la distribución de Cauchy no existe. Por otro lado, la función característica es bien conocido por ser $$ {\rm E}[e^{{\rm i}{\rm t}X}] = \int_{ - \infty }^\infty {e^{{\rm i}tx} f(x)\,{\rm d}x} = e^{ - |t|}, \;\; t \in \mathbb{R}. $$ Por último, la función $\tilde f(x) = \frac{2}{{\pi (1 + x^2 )}}$, $x > 0$, es la función de densidad de $|X|$. Entonces, la transformada de Laplace de $|X|$ es $$ {\rm E}[e^{-t|X|}] = \int_0^\infty {e^{ - tx} \tilde f(x)\,{\rm d}x},\;\; t > 0, $$ y, de acuerdo con el primer párrafo, se puede expresar en términos de la Integral del Seno y del Coseno funciones Integrales.

Answer 3

En primer lugar, comprobar si convergen. Usted encontrará que el primero no menos $t=0$, y el segundo no menos $t\leq0$. Para la primera integral, al $t=0$, usted puede usar la función arcotangente. El segundo, cuando $t\lt0$, puede probar a usar el complejo de contorno de la integración de métodos como se ha visto en muchos textos sobre análisis complejo.

Edit: se me fue precipitada en la publicación de esta, y no había pensado realmente a través de la forma del contorno de la integración sería. Basado en las otras respuestas, parece que no sería tan sencillo.