SGA 3, exponer a los 12, observación 1.6 dice que uno puede construir fácilmente un esquema de grupo a través de una discreta valoración anillo con el genérico de fibra Gm y de la fibra especial, Gun.
¿Cuál es un ejemplo de ello?
Respuestas
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AngryHacker
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Me gusta Scott curva elíptica de la construcción, pero aquí es otra construcción de esencialmente la misma cosa con más explícito fórmulas. Deje que su discreta valoración anillo de ser R = k[[b]] y su esquema de grupo, ser Especificación del anillo S = R[t,(1-bt)-1]. Entonces Spec(S) es un esquema de grupo, utilizando la regla de la multiplicación
µ(t1,t2) = t1 + t2 - bt1t2.
y a la inversa
ν(t) = -t(1-bt)-1.
(Es decir, que este es un álgebra de Hopf de la estructura o la veo como representantes de este grupo de valores de functor de los anillos, dependiendo de su teología.)
Cuando b es invertible, entonces la sustitución de t con la nueva coordenada s = 1-bt hace que este isomorfo al grupo multiplicativo esquema (y, de hecho, que es como las fórmulas anteriores para la multiplicación y la inversión son más fáciles de obtener).
Cuando b es igual a cero, esto se reduce a que el aditivo grupo.
R[x,y]/(y^2-x^3-\pi x^2) da el anillo de coordenadas de una mala cúbicos curva, donde \pi es un uniformizer en R. Eliminar el origen (que es el único punto singular), y projectivize la curva mediante la adición de un punto en el infinito, por lo que su grupo tiene una identidad.
El genérico de la fibra (el tratamiento de \pi como una unidad) es, entonces, la parte lisa de una nodal cúbicos, produciendo Gm, y el especial de la fibra (setting \pi a cero) es la parte lisa de una cuspdal cúbicos, produciendo Gun.
Jeremy McGee
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Un punto de vista : si X es una matriz de 2x2, su centralizador en PGL(2) es-por genérica X -- isomorfo a Gm; sin embargo, es isomorfo a Ga si X es distinto de cero y nilpotent. Esto le da un típicas que ocurren naturalmente de la familia (se puede, por supuesto, lo limitan a obtener una familia de más de un dvr).
