Contorno integral de la $\int_{|z|=1}\frac{2z^2+z}{z^2-1}\, dz$ el uso de residuos de

Question

Estoy tratando de evaluar la integral de contorno

$$\int_{|z|=1}\frac{2z^2+z}{z^2-1}\, dz.$$ En este caso los dos singular puntos se encuentran en la frontera (en el contorno). Por lo que hago recuento de los residuos en este puntos o hacer caso omiso de ellos ?

Answer 1

Como @user_of_math declaró, polos en los contornos sólo contribuir a la mitad; es decir, $$ \oint_{\lvert z\rvert = 1}\frac{2z^2+z}{z^2-1}dz = 2\pi i\sum_{<\partial R}\text{Res} + \pi i\sum_{\partial R}\text{Res} $$ donde $\partial R$ es el contorno. Por lo $<\partial R$ está en el interior del contorno y de la $\partial R$ es en el contorno. Ya que no contamos con los polacos en el contorno, la primera suma es cero. \begin{align} \pi i\sum_{\partial R}\text{Res} & = \pi i\biggl[\lim_{z\to -1}(z+1)\frac{2z^2+z}{z^2-1}+\lim_{z\to 1}(z-1)\frac{2z^2+z}{z^2-1}\biggr]\\ &=\pi i \end{align}