El La paradoja de Hilbert-Bernays se produce definiendo h como '(el referente de h) + 1'. ¿Por qué es esto una paradoja? Parece extraño creer que podamos definir h en términos de sí mismo. Sospecho que me falta algo de contexto, pero no puedo encontrar nada más sobre esta paradoja en Internet que no sea de pago.
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
El artículo de la wiki me parece algo confuso. No tengo mi copia del Grundlagen en este momento, pero creo que el artículo de la wiki ha estropeado la redacción del párrafo. A continuación voy a resumir primero el Mentiroso (sólo para completar y aclarar), dar mi glosa sobre el HBG, y terminar diciendo un poco acerca de cómo referencia y verdad están relacionados.
Primero, volvamos a algo conocido. La clásica Paradoja del Mentiroso
$(*)\quad$ Esta afirmación es falsa
muestra que no podemos sostener lógica clásica , consistencia (= no trivialidad, dado $^*$ lógica clásica), autorreferencia y una(n) definición de verdad interna . Si tenemos autorreferencia y una definición de verdad, podemos formular $(*)$ y la lógica clásica nos lleva entonces a la inconsistencia ya que podemos deducir tanto $(*)$ y $\neg(*)$ . Dicho así, el Mentiroso no es realmente un paradoja Es un teorema sobre las limitaciones de los sistemas lógicos. A la luz de la lema diagonal que permite (ciertos tipos de) autorreferencia en la aritmética, el Mentiroso produce Teorema de Tarski sobre la indefinición de la verdad; con un giro adicional (sustituyendo "verdad" por "demostrabilidad" - bien, y luego aplicando un truco técnico adicional ), obtenemos el primer teorema de incompletitud de Godel.
Bien, ¿y ahora qué pasa con la paradoja Hilbert-Bernays? Por lo que sé, tal y como se plantea en el artículo de la wiki no es realmente un problema, pero puede modificarse fácilmente para que sea desagradable:
$(\sharp)\quad$ $1+n$ si el referente de esta expresión es $n$ y $0$ si esta expresión no tiene referente.
Obsérvese esta segunda cláusula: el mero hecho de decir "Oh, $(\sharp)$ ¡no tiene un referente" no nos salva ahora! Lo que estamos viendo recuerda mucho al Mentiroso, $(*)$ , arriba. Esta vez se obtiene el siguiente teorema: que no podemos sostener lógica clásica , consistencia (= no trivialidad, dado $^*$ lógica clásica), autorreferencia y un "functor de referencia" definible(n internamente) (= una forma de decir "el referente de ---" en el lenguaje interno).
Mi propio instinto -y creo que no soy demasiado raro en esto- es sospechar del papel de la autorreferencia. Pero al igual que en el caso del Mentiroso, el lema de la diagonal nos dice que (al menos en aritmética) en realidad hacer tienen la suficiente capacidad autorreferencial como para meterse en un lío. Así que en contextos lógicos "razonables" (= teorías computables-axiomatizables de base clásica no triviales lo suficientemente fuertes como para soportar la aritmética), concluimos que el problema reside en definición de "referencia" (al igual que el Mentiroso, vía Tarski, demostró que el verdadero problema de la aritmética es la definición de "verdad").
Tenga en cuenta que verdad y referencia están (como es lógico) estrechamente relacionados en el contexto de la aritmética:
-
Dada una frase $\varphi$ , considere la expresión " $0$ si $\varphi$ , $1$ si no $\varphi$ ;" si conocemos el referente de esta expresión, entonces sabemos si $\varphi$ es cierto o no.
-
Dada una fórmula $p(x)$ Considere las frases $p(0)$ , $p(1)$ , $p(2)$ , $p(3)$ , ... Exactamente uno de ellos es verdadero, y si sabemos cuál es verdadero entonces conocemos el referente de la expresión "el único $x$ Satisfaciendo a $p$ ."
Sin embargo, en general, la referencia es más poderosa que la verdad, ya que el dominio en el que vivimos puede no consistir sólo en elementos definibles (por lo que no podremos "buscar en él" el referente como hicimos en el segundo punto anterior). Teniendo en cuenta esto, en realidad podemos decir que en cierto sentido $(\sharp)$ es "más básico" que $(*)$ .
$^*$ Vale la pena observar que en los sistemas lógicos más débiles, una sola incoherencia no conduce necesariamente a la explosión. Si no insistimos en la lógica clásica, podemos tener sistemas lógicos no triviales que tengan inconsistencias. El término relevante aquí es paraconsistencia Y una respuesta a las diversas paradojas semánticas como la del Mentiroso es trabajar con en un sistema paraconsistente.
