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Convertir la ecuación de Airy, $y'' - xy = 0$, en la ecuación de Bessel, $t^2u'' + tu' + (t^2 - c^2)u = 0$

Mi profesor ha dicho que esta será una tarea fácil el ejercicio. Sugirió utilizar el cambio de variable $t = \dfrac{2}{3}x^{3/2}$, y, a continuación, quitar el primer término derivado de la forma $p(t) \dfrac {dy}{dt}$ por una transformación

\begin{equation} y(t) = w(t)e^{\frac{-1}2\int p(t)dt} \end{equation}

Cada vez que intento hacerlo me sale una muy desordenado montón de términos que tienen la exponencial en ellos. Es este realmente el problema que fácil de hacer?

Tras el cambio de variables que obtengo:

\begin{equation*} y^{(2)} - xy = (3/2)^{2/3}t^{2/3}*{\frac{d^2y}{dt^2}} + \frac{1}2 (3/2)^{-1/3}t^{-1/3}{\frac{dy}{dt}} - (3/2)^{2/3}t^{2/3}y \end{ecuación*}

A continuación, trato de usar \begin{equation} y(t) = w(t)e^{\frac{-1}2\int p(t)dt} \end{equation}

tomando derivados y sustituyendo en la ecuación anterior.. entonces solo es un lío de términos con las exponenciales. La segunda derivada de y(t) en que la transformación es realmente feo.. así que creo que estoy haciendo mal.

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doraemonpaul Puntos 8603

http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/ode/ode0202.pdf y http://eqworld.ipmnet.ru/en/solutions/ode/ode0207.pdf puede proporcionar sugerencias para usted.

Deje $s=x^n$ donde $n$ es una constante,

A continuación, $\dfrac{dy}{dx}=\dfrac{dy}{ds}\dfrac{ds}{dx}=nx^{n-1}\dfrac{dy}{ds}$

$\dfrac{d^2y}{dx^2}=\dfrac{d}{dx}\left(nx^{n-1}\dfrac{dy}{ds}\right)=nx^{n-1}\dfrac{d}{dx}\left(\dfrac{dy}{ds}\right)+n(n-1)x^{n-2}\dfrac{dy}{ds}=nx^{n-1}\dfrac{d}{ds}\left(\dfrac{dy}{ds}\right)\dfrac{ds}{dx}+n(n-1)x^{n-2}\dfrac{dy}{ds}=nx^{n-1}\dfrac{d^2y}{ds^2}nx^{n-1}+n(n-1)x^{n-2}\dfrac{dy}{ds}=n^2x^{2n-2}\dfrac{d^2y}{ds^2}+n(n-1)x^{n-2}\dfrac{dy}{ds}$

$\therefore n^2x^{2n-2}\dfrac{d^2y}{ds^2}+n(n-1)x^{n-2}\dfrac{dy}{ds}-xy=0$

$n^2x^{2n-3}\dfrac{d^2y}{ds^2}+n(n-1)x^{n-3}\dfrac{dy}{ds}-y=0$

$n^2s^{\frac{2n-3}{n}}\dfrac{d^2y}{ds^2}+n(n-1)s^{\frac{n-3}{n}}\dfrac{dy}{ds}-y=0$

La elección adecuada es $n=\frac{3}{2}$

$\therefore\frac{9}{4}\dfrac{d^2y}{ds^2}+\frac{3}{4}s^{-1}\dfrac{dy}{ds}-y=0$

$9s\dfrac{d^2y}{ds^2}+3\dfrac{dy}{ds}-4sy=0$

Deje $y=s^ku$ donde $k$ es una constante,

A continuación, $\dfrac{dy}{ds}=s^k\dfrac{du}{ds}+ks^{k-1}u$

$\dfrac{d^2y}{d^2s}=s^k\dfrac{d^2u}{ds^2}+ks^{k-1}\dfrac{du}{ds}+ks^{k-1}\dfrac{du}{ds}+k(k-1)s^{k-2}u=s^k\dfrac{d^2u}{ds^2}+2ks^{k-1}\dfrac{du}{ds}+k(k-1)s^{k-2}u$

$\therefore 9s\left(s^k\dfrac{d^2u}{ds^2}+2ks^{k-1}\dfrac{du}{ds}+k(k-1)s^{k-2}u\right)+3\left(s^k\dfrac{du}{ds}+ks^{k-1}u\right)-4ss^ku=0$

$9s^{k+1}\dfrac{d^2u}{ds^2}+18ks^k\dfrac{du}{ds}+9k(k-1)s^{k-1}u+3s^k\dfrac{du}{ds}+3ks^{k-1}u-4s^{k+1}u=0$

$9s^{k+1}\dfrac{d^2u}{ds^2}+(18k+3)s^k\dfrac{du}{ds}-(4s^{k+1}+3k(3k-2)s^{k-1})u=0$

$9s^2\dfrac{d^2u}{ds^2}+(18k+3)s\dfrac{du}{ds}-(4s^2+3k(3k-2))u=0$

La elección adecuada es $k=\frac{1}{3}$

$\therefore 9s^2\dfrac{d^2u}{ds^2}+9s\dfrac{du}{ds}-(4s^2+1)u=0$

Deje $t=ms$ donde $m$ es una constante,

A continuación, $\dfrac{du}{ds}=\dfrac{du}{dt}\dfrac{dt}{ds}=m\dfrac{du}{dt}$

$\dfrac{d^2u}{ds^2}=\dfrac{d}{ds}\left(m\dfrac{du}{dt}\right)=\dfrac{d}{dt}\left(m\dfrac{du}{dt}\right)\dfrac{dt}{ds}=m\dfrac{d^2u}{dt^2}m=m^2\dfrac{d^2u}{dt^2}$

$\therefore 9\left(\frac{t}{m}\right)^2m^2\dfrac{d^2u}{dt^2}+9\frac{t}{m}m\dfrac{du}{dt}-\left(4\left(\frac{t}{m}\right)^2+1\right)u=0$

$9t^2\dfrac{d^2u}{dt^2}+9t\dfrac{du}{dt}-\left(\frac{4t^2}{m^2}+1\right)u=0$

$t^2\dfrac{d^2u}{dt^2}+t\dfrac{du}{dt}-\left(\frac{4t^2}{9m^2}+\frac{1}{9}\right)u=0$

$t^2\dfrac{d^2u}{dt^2}+t\dfrac{du}{dt}+\left(\frac{4t^2}{9(mi)^2}-\frac{1}{9}\right)u=0$

La elección adecuada es $m=\frac{2i}{3}$

$\therefore t^2\dfrac{d^2u}{dt^2}+t\dfrac{du}{dt}+\left(t^2-\frac{1}{9}\right)u=0$

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