Es $P(M)$ internamente completa en la categoría de $M$ -¿conjuntos?

Question

Dejemos que $\textsf{MSet}$ sea la categoría de $M$ -sets. El conjunto de potencias de $M$ , $P(M)$ es un $M$ -conjunto con la acción dada por la división:

• $iX = \{j \mid j\circ i \in X\}$

Supongamos que $B$ es un álgebra booleana con un $M$ -que conserva las operaciones booleanas (como $P(M)$ ). Digamos que $B$ es internamente completa si:

• Para cualquier $M$ -Configurar $A$ el mapa diagonal $k:B\to B^A$ (la transposición exponencial de $\pi_1$ ) tiene un adjunto izquierdo $\bigvee_A:B^A \to B$ .

Es decir, para cualquier equivariante $f:M\times A \to B$ y $b\in B$ :

• $\bigvee_A f \subseteq b$ si y sólo si, para todo $j\in M, a\in A$ , $f(j,a) \subseteq jb$

Me gustaría saber si $P(M)$ se completa internamente (cualquiera que sea $M$ es), y si lo es, cuál es la construcción explícita de $\bigvee$ es.

Answer 1

Sí, y la construcción es bastante inmediata desde su caracterización explícita. A saber, dado $f:M\times A\to P(M)$ , defina $c\in P(M)$ para ser la intersección de todos los $b\in P(M)$ tal que para todo $j\in M$ y $a\in A$ , $f(j,a)\subseteq jb$ . Dado que la acción de $M$ en $P(M)$ preserva las intersecciones arbitrarias, es evidente que esta $c$ es el menor elemento de $P(M)$ que satisface esta condición en $b$ Así que $c$ cumple con la definición de $\bigvee_A f$ .

Para demostrar que $f\mapsto\bigvee_A f$ preserva la acción de $M$ En primer lugar, permítanme hacer una descripción más concreta de $\bigvee_A f$ . Si $b\in P(M)$ , déjame escribir $bi^{-1}$ por lo que has escrito $ib$ . Esta notación debería ser intuitiva, ya que es exactamente la imagen inversa de $b$ bajo la multiplicación por la derecha por $i$ . Permítanme también escribir $bj=\{xj:x\in b\}$ para la imagen de $b$ bajo la multiplicación por la derecha por $j$ .

Ahora podemos describir explícitamente $\bigvee_A f$ como un conjunto. Queremos el más pequeño $b\in P(M)$ tal que $f(j,a)\subseteq bj^{-1}$ para todos $(j,a)$ . Tenga en cuenta que $f(j,a)\subseteq bj^{-1}$ si $f(j,a)j\subseteq b$ por lo que el más pequeño de tales $b$ es simplemente la unión $\bigcup_{j,a}f(j,a)j$ . Ahora bien, tenga en cuenta que si $x\in f(j,a)$ entonces $1\in f(j,a)x^{-1}=f(xj,xa)$ Así que si $y=xj\in f(j,a)j$ entonces $1\in f(xj,xa)$ . Por el contrario, si $1\in f(y,a)$ para algunos $a$ entonces $y\in f(y,a)y\subseteq\bigvee_f A$ . Así que también podemos describir $\bigvee_A f$ como el conjunto de todos los $y\in M$ tal que $1\in f(y,a)$ para algunos $a\in A$ .

Ahora dejemos que $g=if$ para algunos $i\in M$ Así que $g(j,a)=f(ji,a)$ para todos $(j,a)$ . Entonces $\bigvee_A g$ es el conjunto de todos los $y\in M$ tal que $1\in g(y,a)=f(yi,a)$ para algunos $a\in A$ . Pero este es exactamente el conjunto de $y$ tal que $yi\in \bigvee_A f$ . Así, $\bigvee_A g=\left(\bigvee_A f\right)i^{-1}$ , según se desee.