Estoy leyendo la "Teoría de Conjuntos" de Jech. En primer lugar, afirma que la existencia del conjunto vacío se desprende del axioma del infinito. El conjunto vacío se define, utilizando el esquema de separación como $$\emptyset = \{ u \in X\mid u \neq u \},$$ que presupone la existencia de algún conjunto X. La existencia de algún conjunto X, en su argumento, se sigue de la existencia de un conjunto inductivo. Entonces, utiliza el conjunto vacío para definir un conjunto inductivo en el axioma del infinito: $$\exists S [ \emptyset \in S \wedge (\forall x \in S) [x \cup \{x\} \in S]].$$ Este argumento me parece circular. ¿Estoy equivocado?
Respuesta
¿Demasiados anuncios?
DanV
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El argumento no es circular. Se puede escribir el axioma del infinito de una forma mucho más larga,
$$\exists S(\exists u(\forall z(z\notin u)\land u\in S)\land\forall x(x\in S\rightarrow\exists v(v\in S\land\forall w(w\in v\leftrightarrow v\in x\lor v=x))))$$
No hay referencia al conjunto vacío allí.
Por supuesto, a partir de esta afirmación podemos demostrar la existencia de un conjunto que no tiene elementos.
