Construir el $\cal{N}=2$ teoría supersimétrica no beliana de Chern-Simon

Question

Esto está relacionado con esta pregunta anterior Yo había preguntado.

Estoy utilizando la llamada representación Majorana'' de las matrices gamma en $2+1$ dimensiones en las que todo es real. Después de hacer la reducción dimensional del $\cal{N}=1$ transformaciones de supersimetría de las componentes del supercampo vectorial en $3+1$ dimensiones las transformaciones de supersimetría de la resultante $\cal{N}=2$ componentes del supercampo vectorial en $2+1$ las dimensiones son,

$$\delta F_A = i \bar{\alpha}^a\lambda_{Aa}$$ $$\delta D_A = i \bar{\alpha}^a\gamma_3^\mu D_\mu \lambda_{Aa}$$ $$\delta V_{A\mu} = i \bar{\alpha}^a\gamma_{3\mu}\lambda_{Aa}$$ $$\delta \lambda_{Aa} = -\frac{1}{2}f^3_{A\mu \nu}\gamma_3^{\mu \nu}\alpha_a + D_A\alpha^a + \gamma_3^\mu D_\mu F_A\alpha ^a$$

donde $A,B,..$ son los índices del grupo gauge, $f^3_{A\mu \nu}$ es la intensidad de campo no beliana y $\alpha$ es un parámetro espinor cuyos componentes se elevan y bajan como, $\alpha^1 = \alpha_2$ y $\alpha^2 = -\alpha_1$ .

Utilizando lo anterior se pueden derivar las siguientes transformaciones para los posibles términos de la pretendida teoría de super-Chern-Simons,

$$\delta(Tr[FD]) = Tr[t_At_B] \{ i\bar{\alpha}^a \lambda _{Aa}D_B - i \bar{\alpha}^a \gamma_3^\mu\lambda_{Ba}\partial_\mu F_A + i\bar{\alpha}^a \gamma_3^\mu \lambda_{Ca} C_{BB'C}V_{B'\mu}F_A\}$$

$$\delta(Tr[\bar{\lambda}_a\lambda_a]) = 2Tr[t_A t_B]\{ \frac{1}{2}\bar{\alpha}_a\gamma_{3\rho}\lambda_{Ba}f^3_{A\mu\nu}\epsilon ^{\mu \nu \rho} + \bar{\alpha}^a\lambda_{Ba}D_A - \bar{\alpha}^a\gamma_3^\mu \lambda_{Ba}\partial_\mu F_A$$

$$- \bar{\alpha}^a\gamma_3^\mu \lambda_{Ba}C_{AB'C}V_{B'\mu}F_C \}$$

$$\delta(Tr[\epsilon^{\mu \nu \rho}(V_\mu \partial_\nu V_\rho)]) = -i\epsilon^{\mu \nu \rho}Tr[t_At_B]\bar{\alpha}^a\gamma_{3\rho}\lambda_{Aa}(\partial_\mu V_{B\nu} - \partial_\nu V_{B\mu})$$

$$\delta(Tr[\epsilon ^{\mu \nu \rho}V_\mu V_\nu V_\rho]) = -\frac{3}{2}\epsilon^{\mu \nu \rho}Tr[t_At_D]C_{DBC}\bar{\alpha}^a\gamma_{3\mu}\lambda_{Aa}V_{B\nu}V_{C\rho}$$

(donde $t_A$ son una base elegida en el álgebra de mentira del grupo gauge tal que las constantes de estructura se definen como $[t_A,t_B]=iC_{DAB}t_D$ )

Es evidente que al elegir un coeficiente de $-2$ para el $Tr[FD]$ y $i$ para el $Tr[\bar{\lambda}_a\lambda_a]$ algunos de los términos la variación de los campos auxiliares pueden ser cancelados y algunos de los términos restantes de la variación del término fermiónico cancelan totalmente la variación supersimétrica del término cinético de los campos gauge.

Lo que queda es,

$$\delta(Tr[\epsilon^{\mu \nu \rho}V_\mu\partial _ \nu V_\rho + i \bar{\lambda}_a\lambda_a - 2FD]) = Tr[t_At_B]\{i\bar{\alpha}_a\gamma_{3\rho}\lambda_{Aa}C_{BCD}V_{C\mu}V_{D\nu}\epsilon^{\mu \nu \rho}$$ $$- 2i\bar{\alpha}^a\gamma_3^\mu \lambda_{Ba}C_{AB'C}V_{B'\mu}F_C - 2i\bar{\alpha}^a\gamma_3^\mu \lambda_{Ca}C_{BB'C}V_{B'\mu}F_A\}$$

y

$$\delta(Tr[\epsilon ^{\mu \nu \rho}V_\mu V_\nu V_\rho]) = -\frac{3}{2}Tr[t_At_B]\bar{\alpha}^a\gamma_{3\mu}\lambda_{Aa}C_{BCD}V_{C\nu}V_{D\rho}\epsilon^{\mu \nu \rho}$$

• No está claro que se pueda elegir un coeficiente para el último término de modo que la variación supersimétrica de la suma de los LHS sea cero.

Los términos anteriores parecen ser estructuralmente muy diferentes y, por lo tanto, no está claro cómo se cancelarán. Al igual que la variación del término de auto-acoplamiento fermiónico produce un acoplamiento de la componente fermiónica, el campo gauge y el campo auxiliar. ¡Este término no se produce por la variación del término del campo gauge al cubo!

Uno espera que el lagrangiano sea algo así,

$$Tr[\epsilon^{\mu \nu \rho}(V_\mu\partial _\nu V_\rho -i\frac{2}{3}V_\mu V_\nu V_\rho ) + i \bar{\lambda}_a\lambda_a - 2FD ]$$

Me gustaría recibir ayuda para establecer lo anterior.

• Un progreso sería si los dos términos con la constante de estructura se cancelan realmente, es decir

si

$$Tr[t_At_B]\{C_{AB'C}\lambda_{Ba} V_{B'\mu}F_C + C_{BB'C}\lambda_{Ca}V_{B'\mu}F_A\} = 0$$

Pero lo anterior no está claro.

NB. Mis constantes de estructura se definen como $[t_A,t_B]=iC_{DAB}t_D$

Answer 1

Sin pasar y hacer el cálculo yo mismo, sólo puedo hacer algunos comentarios generales.

Tus contracciones del índice parecen un poco raras. En el primer término del lado derecho de la $$\begin{align} &\delta(Tr[\epsilon^{\mu \nu \rho}V_\mu\partial _\nu V_\rho + i \bar{\lambda}_a\lambda_a - 2FD]) \\ = &Tr[t_At_B]\{i\bar{\alpha}_a\gamma_{3\rho}\lambda_{Aa}C_{ABC}V_{B\mu}V_{C\nu} - 2i\bar{\alpha}^a\gamma_3^\mu \lambda_{Ba}C_{AB'C}V_{B'\mu}F_C \} \,, \end{align}$$ los índices de Lorentz no se contraen, ¿te falta un $\epsilon^{\mu \nu \rho}$ ? Además, en el mismo término tiene triplemente índices de calibre repetidos (es decir, el mismo índice aparece 3 veces), lo que resulta desagradable.

Si se arregla lo anterior, y tal vez se utiliza la simetría del $Tr[t_At_D]$ término para mover el $D$ en el lado derecho del término cúbico $\delta(Tr[\epsilon ^{\mu \nu \rho}V_\mu V_\nu V_\rho])$ Entonces, tal vez puedas conseguir que se cancele el primer término del que hablamos arriba.

Por último, el segundo término en el lado derecho de la ecuación mostrada anteriormente no puede ser cancelado por nada más. Así que comprueba el resultado de $\delta(Tr[\bar{\lambda}_a\lambda_a])$ - tal vez el término de problemas está destinado a desaparecer... ¿Estás seguro de que tus variaciones de Susy son correctas? ¿Tienes una referencia (por ejemplo http://arxiv.org/abs/hep-th/9506170 ) que puedes comprobar?

Answer 2

@Deepak: la triple repetición está bien definida operativamente como parte de la convención de suma de Einstein, pero no tiene sentido en general: se supone que las contracciones son invariantes de grupo, y en ese sentido tales "contracciones" triples no tienen sentido.