Usando palos y piedras para contar el número de maneras

Question

De los veinte primeros enteros positivos, ¿de cuántas maneras podemos seleccionamos 6 enteros para que no dos enteros de los seis elegidos son consecutivos?

He probado usando palos y piedras, pero mi proceso de pensamiento guardó el funcionar sin gasolina y no veo en la pista.

Answer 1

Habrá $14$ enteros no elegidos. Escribir las ocurrencias $14$ $\times$, así: $$\times \quad\times\quad\times \quad\times\quad\times \quad\times\quad\times \quad\times\quad\times \quad\times\quad\times \quad\times\quad\times \quad\times$ $ determinan las brechas de $15$, $13$ reales más $2$ endgaps. Debemos elegir $6$ a deslizarse una Y (sí) en. Existe una correspondencia uno a uno natural entre las cuerdas de longitud $20$ compuesta de $14$ $\times$ y $6$Y, con el no Y dos consecutivos y las opciones válidas. (Número de los elementos de la cadena desde la izquierda). El número de maneras es $\binom{15}{6}$.

Answer 2

El número de maneras de seleccionar enteros de $r$ $(1\ldots n)$ con ningún dos enteros consecutivos seleccionados es de $$ \binom{n+1-r}{r}$$

Entonces la respuesta a tu problema es $$ \binom{15}{6}= 5005 $$