Punto más cercano a 3 (o más) círculos

Question

He estado recorriendo Internet en busca de información, pero hasta ahora he encontrado muy poco que me haya ayudado. Para ser justos, no soy un experto en matemáticas y puede que no esté utilizando las consultas de búsqueda correctas.

Estoy trabajando en un sistema de localización de WiFi en exteriores. Mis datos experimentales sugieren que el uso de la RSSI (intensidad de la señal recibida) da suficiente precisión para la resolución que necesitamos, que es donde las matemáticas - y ustedes, buena gente - entran en juego. Me gustaría utilizar la trilateración para encontrar la ubicación de un dispositivo, posiblemente utilizando más de 3 balizas con ubicaciones conocidas.

Con la variabilidad del RSSI a una distancia determinada es muy poco probable que la trilateración produzca círculos con una única intersección común. Por lo tanto, tengo que ser capaz de calcular el punto en el espacio 2D que está más cerca de los bordes de los 3+ círculos.

Por el momento estoy codificando en python, si eso supone una diferencia para alguien.

¿Qué opciones tengo?

Gracias.

Answer 1

Dejemos que $(x,y)$ sea el punto misterioso y $(w_i,f_i)$ sean las fuentes de las señales; que $m_i$ sea la medida imperfecta de la distancia entre el punto misterioso y el $i$ señal. Probablemente la expresión más fácil de minimizar es la suma de los cuadrados de los errores, $$ E(x,y) = \sum_i \big( (x-w_i)^2 + (y-f_i)^2 - m_i^2 \big)^2 $$ (esta expresión es más fácil de manejar que la suma de los valores absolutos de los errores, o el error absoluto máximo). Se puede intentar minimizar esta función como cualquier otra: resolver el sistema de ecuaciones $$ \frac{\partial E}{\partial x}(x,y) = 0, \quad \frac{\partial E}{\partial y}(x,y) = 0 $$ para $x$ y $y$ y verificar que efectivamente es un mínimo. En este caso, las derivadas parciales serían polinomios de grado 3, lo que está dentro del ámbito de las calculadoras simbólicas para resolver numéricamente.

Otra posibilidad es un enfoque más discreto. Los tres círculos medidos tienen un total de seis puntos de intersección. Lo ideal sería que tres de esos puntos de intersección coincidieran; sin embargo, en la práctica, tres de ellos estarán bastante cerca y los otros tres estarán bastante más alejados. Así que calcula los seis puntos de intersección, selecciona los tres que están más próximos y toma la media de esos tres (el centroide del triángulo formado por ellos) como estimación del punto misterioso.