Cómo derivar una identidad de ángulo doble.

Question

Cómo uno derivan las siguientes dos identidades: $$\begin{align} \cos 2\theta &= 1-2\sin^2\theta\ \sin 2\theta &= 2\sin\theta\cos\theta \end{align} $$

Answer 1

Sugerencias:

Para el $\cos 2\theta$ fórmula, el uso de la suma de identidad (con $x=y=\theta$) $$ \cos(x+y)=\cos x\cos y - \sin x\pecado y, $$ seguido por la identidad Pitagórica $\cos^2 x=1-\sin^2 x $.

Para el $\sin 2\theta$ fórmula , el uso de la suma de identidad (con $x=y=\theta$) $$ \sin(x+y)=\sin x\cos y +\pecado y\cos x. $$

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O, por el $\cos2\theta$ fórmula y $0<\theta<\pi/2$, considere el diagrama:

Tenemos $$ \cos\theta ={ {1+\cos2\theta}\\sqrt{2+2\cos 2\theta}}; $$ de dónde $$ \sqrt 2\cos\theta=\sqrt{1+1\cos\theta}, $$ o, $$ 2\cos^2\theta= 1+1\cos2\theta $$ A partir de esto, hemos $$ 2-2\sin^2\theta=1+\cos2\theta, $$ o $$ \cos2\theta =1-2\sin^2\theta. $$

(Tener esto a la mano, también podría utilizar el diagrama para derivar la fórmula para $\sin2\theta$.)

Answer 2

$e^{i\theta}$ significa el punto con el ángulo $\theta$ en el círculo unitario. Fórmula de Euler nos dice que $e^{i\theta}=\cos \theta+i\sin \theta$. Entonces $e^{i2\theta}=\cos^2 \theta-\sin^2 \theta+2i\sin \theta\cos\theta$. También, sabemos que $e^{i(2\theta)}=\cos 2\theta+i\sin 2\theta$. Comparar las partes real e imaginarias, y obtienes el resultado deseado.

Todos que supongo es que sabes la fórmula de Euler.

Answer 3

La primera de ellas se deduce:

$$\cos 2\theta = \cos(\theta +\theta) = \cos \theta \cos \theta - \sin \theta \sin \theta = \cos^2 \theta - \sin^2 \theta .$$ Now use the fact $\cos^2 \theta + \sin^2 \theta = 1. $

El segundo se sigue de $$ \sin 2\theta = \sin(\theta +\theta) = \sin \theta \cos \theta + \cos \theta \sin \theta. $ $