Versión clásica y versión idílica de la teoría de campos de clase

Question

El semestre pasado, tomé un curso sobre teoría de campos de clase y aprendí sobre la reciprocidad de Artin, que da un mapa del grupo de clase de ideales al grupo de Galois, $$ \left(\frac{AB}{\cdot}\right):I_{K}\to Gal(L/K), \,\,\,\,\prod_{i=1}^{m}\mathfrak{p}_{i}^{n_{i}}\mapsto \prod_{i=1}^{m}\left(\frac{L/K}{\mathfrak{p}_{i}}\right)^{n_{i}} $$ donde $\left(\frac{L/K}{\mathbb{p}_{i}}\right)$ es un mapa de Frobenius que corresponde al ideal primo $\mathfrak{p}$. Hoy, aprendí una versión adélica de la teoría de campo de clase (global), que es $$ \mathbb{A}^{\times}_{F}/\overline{F^{\times}(F_{\infty}^{\times})^{o}} \simeq G_{F}^{ab}$$ donde $F$ es un cuerpo de números, $\mathbb{A}_{F}$ es un adelio sobre $F$ y $G_{F}^{ab}=Gal(F^{ab}/F). No puedo entender cómo están conectadas estas dos cosas. ¿Alguien podría explicar la relación explícita entre estas dos cosas?

Answer 1

Para mayor claridad, vamos a hacer más precisa la definición del mapa de reciprocidad de Artin:

1) Sobre $\mathbf Q$, la CFT es el teorema de Kronecker-Weber, que dice que cualquier $L/\mathbf Q$ abeliano finito está contenido en un campo ciclotómico $\mathbf Q_m = \mathbf Q(\zeta_m)$. Tal $m$ se llama un módulo definitorio para $L/\mathbf Q$ y el conductor $f_L$ de $L/\mathbf Q$ es el módulo definitorio más pequeño (con respecto a la división) de $L$. Dado un módulo definitorio $m$ de $L$, se define $C_m=(\mathbf Z/m\mathbf Z)^*$, y para $a\in C_m$, se define el símbolo de Artin ($a,L/\mathbf Q$) como el automorfismo de $L$ que envía $\zeta_m$ a $\zeta_m^{a}$, y se denota por $I_{L,m}$ a su núcleo, de manera que se obtiene un isomorfismo $C_m/I_{L,m} \cong Gal(L/\mathbf Q)$ a través del símbolo de Artin.

2) En la CFT clásica sobre un campo de números $K$, las nociones anteriores se pueden generalizar, pero de una manera muy no obvia. Se define un $K$-módulo $\mathfrak M$ como el producto formal de un ideal del anillo de enteros $A_K$ y algunos primos infinitos de $K$ (implícitamente elevados a la primera potencia). En lo sucesivo, para simplificar, "hablaremos como si" $\mathfrak M$ fuera un ideal. Denotemos por $A_{\mathfrak M}$ al grupo de primos fraccionarios con respecto a $\mathfrak M$ y por $R_{\mathfrak M}$ al subgrupo de ideales fraccionarios principales $(x)$ tal que $x$ es "congruente" a $1$ mód $\mathfrak M$, y pongamos $C_{\mathfrak M}=A_{\mathfrak M}/R_{\mathfrak M}$. Para una extensión abeliana finita $L/K$, se define $I_{L/K,\mathfrak M}=N(C_{L,\mathfrak M})$, donde $N_{L/K}$ es la norma de $L/K$. Un módulo definitorio $K$ de $L/K$ es tal que $(C_{\mathfrak M}:I_{L/K,\mathfrak M})=[L:K]$, y el conductor $f_{L/K}$ es el módulo definitorio $K$ más pequeño de $L/K$. Para un primo finito $K$ $\mathfrak P$, coprimo con $\mathfrak M$, se puede demostrar que existe un único símbolo de Artín $(\mathfrak P , L/K) \in G(L/K)$ caracterizado por $(\mathfrak P, L/K)(x)\equiv x^{N\mathfrak P}$ mód $\mathfrak PA_L$ para cualquier $x\in A_L$, con $N=N_{K/\mathbf Q}$. Esta definición se puede extender multiplicativamente a $C_{\mathfrak M}$, y la ley de reciprocidad de Artin es el isomorfismo $C_{\mathfrak M}/I_{L/K,\mathfrak M} \cong G(L/K)$ a través del símbolo de Artín.

3) En la CFT idélica sobre un campo de números $K$, los $C_{\mathfrak M}$ anteriores se reemplazan por grupos de clases de ideles. El grupo de ideles $J_K$ es el grupo de elementos invertibles del anillo de adeles de $K$ (equipado con la "topología del producto restringido") y el grupo de clases de ideles $C_K$ es el cociente $J_K/K^*$. Escribimos $C'_K=C_K/D_K$, donde $D_K$ es el componente conectado de la identidad = el subgrupo de elementos infinitamente divisibles de $C_K$. Para un $K$-módulo $\mathfrak M$, sea $I_{\mathfrak M} = J_{\mathfrak M}.K^*/K^*$, donde $J_{\mathfrak M}$ es el subgrupo de ideles que son "congruentes" con 1 mód $\mathfrak M$. Dada una extensión abeliana $L/K$, un módulo definitorio $K$ $\mathfrak M$ es tal que $I_{\mathfrak M}$ está contenido en $N_{L/K}C_L$. El mapa global de reciprocidad de Artin $(.,L/K)$ se define de la siguiente manera: por el teorema chino del resto, para cualquier $j \in J_K$, existe $x \in K^*$ tal que $j$ es "congruente" a $x$ mód ${\mathfrak M}$; luego definimos $(j, L/K)$ como el producto de los elementos $(L/K, \mathfrak P)^{n_\mathfrak P}$, donde $n_\mathfrak P = ord (jx^{-1})_\mathfrak P$, para todos los $\mathfrak P$ coprimos con ${\mathfrak M}$. Es fácil ver que esto se puede "pasar al cociente" para definir un mapa $(., L/K) : C'_K \to G(L/K)$ tal que $C'_K/N_{L/K}C'_L \cong G(L/K)$. Esta es la ley de reciprocidad de Artin en términos idélicos. Ahora que nos hemos deshecho de los engorrosos módulos $\mathfrak M$, podemos tomar límites proyectivos a lo largo de las extensiones abelianas finitas de $K$ para obtener un isomorfismo canónico $C'_K \cong G(K^{ab}/K)$, que se puede comprobar que coincide con la expresión (bastante inutilizable) que diste.

No hace falta decir que casi todas las propiedades explicadas anteriormente son teoremas muy elaborados y difíciles.