Resolver el sistema ${x}^{2}+ \left( y-1 \right) ^{2}=4,z^{4}+y{z}^{2}+xz+1=0. $

Question

Encontrar todas las soluciones reales del sistema de ecuación\begin{cases} {x}^{2}+ \left( y-1 \right) ^{2}=4,\{z}^{4}+y{z}^{2}+xz+1=0. \end{casos}

Answer 1

De la segunda ecuación obtenemos $y=-z^2-\frac{x}{z}-\frac{1}{z^2}$ (es obvio que $z\neq0$).

Así, $$x^2+\left(z^2+\frac{1}{z^2}+1+\frac{x}{z}\right)^2=4$ $ o $ de $$\left(1+\frac{1}{z^2}\right)x^2+\frac{2}{z}\left(z^2+\frac{1}{z^2}+1\right)x+\left(z^2+\frac{1}{z^2}+1\right)^2-4=0,$ $$\frac{1}{z^2}\left(z^2+\frac{1}{z^2}+1\right)^2-\left(1+\frac{1}{z^2}\right)\left(\left(z^2+\frac{1}{z^2}+1\right)^2-4\right)\geq0$ $ o $ de $$(z^4+z^2-1)^2\leq0,$de % que $z^2=\frac{\sqrt5-1}{2}$, que $x=-\frac{\frac{1}{z}\left(z^2+\frac{1}{z^2}+1\right)}{1+\frac{1}{z^2}}$ y el resto es liso.

Answer 2

Este sistema de 2 ecuaciones tiene infinitas soluciones. Que $x=2\cos\theta$ y $y=2\sin\theta+1$ que satisfacen la primera ecuación. Entonces $$z^4+yz^2+xz+1=0$ $ $$z^4+(2\sin\theta+1)z^2+(2\cos\theta)z+1=0$$ $$(z^2+\sin\theta)^2+(z+\cos\theta)^2=0$ $ $z=-\cos\theta$ y $z^2=-\sin\theta$, esto nos lleva a encontrar soluciones de $\theta$.

$z^2=-\sin\theta$ $\sin\theta

$\sin^2\theta-\sin\theta-1=0$ $\theta=\arcsin\dfrac{1-\sqrt{5}}{2}\sim-38.17^\circ$ muestra. Existen sólo dos solución $(x,y,z)$. uno para $\theta=(180+38.17)^\circ$ y otro para $\theta=(360-38.17)^\circ$ y $$(x,y,z)=(2\cos\theta,2\sin\theta+1,-\cos\theta)$ $

Answer 3

que $t = y-1$

$x^2+t^2 = 4$

$tz^2 + xz = -z^4 - z^2 - 1$

La solución (x, t) existe si y sólo si $\frac{z^4 +z^2 +1}{\sqrt{z^4 +z^2}} \le 2$ (geométrico)

Que $k = z^4 + z^2$

$\frac{k +1}{sqrt(k)} \le 2$ es igual a $k^2 +2k +1 \le 4k$ es igual a $k^2 -2k +1 \le 0$ es igual a k = 1;

Así, $z^4 + z^2 = 1$