Dejemos que $U$ sea el conjunto de todos los $n×n$ matrices con entradas reales tales que todos sus valores propios pertenecen a $\mathbb C \setminus \mathbb R$ .

Question

Dejemos que $U$ sea el conjunto de todos los $n×n$ matrices con entradas reales tales que todos sus valores propios pertenecen a $\mathbb C \setminus \mathbb R$ y $X = M_n(\mathbb R)$ . Es $U$ ¿abierto?

Sé que el conjunto de todos $2×2$ matrices con entradas reales tales que todos sus valores propios pertenecen a $\mathbb C \setminus \mathbb R$ y $X = M_2(\mathbb R)$ es un subconjunto abierto de $M_2(\mathbb R).$

Para $n$ impar $U$ es abierto. Como el polinomio característico es de grado impar, debe tener al menos un cero real. Por lo tanto, $U=\emptyset$ . Por lo tanto, $U$ está abierto. ¿Y el otro caso? Cuando $n$ es par, ¿Cómo relaciono el polinomio característico y la naturaleza de las raíces? Para las ecuaciones cuadráticas, es una tarea fácil.

Answer 1

Dejemos que $A \in U$ . Si $A$ no es un punto interior de $U$ entonces existen matrices $A_n$ convergiendo a $A$ de manera que cada $A_n$ tiene un valor propio real $\lambda_n$ . Existen vectores unitarios $x_n$ tal que $A_nx_n=\lambda_n x_n$ . Como la esfera unitaria es compacta, existe una subsecuencia $(x_{n'})$ que convergen a un vector unitario $x$ . Ahora, $A_{n'}x_{n'}\to Ax$ y la ecuación $A_{n'}x_{n'}=\lambda_{n'}x_{n'}$ muestra que $\lambda_{n'}$ debe converger. El límite $\lambda$ es un número real y obtenemos la contradicción $Ax=\lambda x$ .