Definición. Dado $a\in\mathbb R$, definir la función de $f_a(x)=x(\arctan x-a)$.
Definición. Dado $a,b\in\mathbb R$, considerar el conjunto cerrado
$$
\begin{split}
E_{a,b} &= \{(x,y)\in\mathbb R^2 : x(\arctan x-a)+y(\arctan y-b)=0\} \\
&= \{(x,y)\in\mathbb R^2 : f_a(x)+f_b(y)=0\}
\end{split}
$$
Lemma 1. For every $\in\mathbb R$, the set $[0,\infty)$ is in the image of $f_a$.
Proof. Assume $\geq0$. Then $f_a(0)=0$y
$$
\lim_{x\a\infty}x(\arctan x-a)=(-\pi/2-a) \lim_{x\a\infty}x=\infty.
$$
Desde $f_a$ es continua, estos límites implica la tesis. El caso de $a\leq0$ es análogo, con los signos cambiados. □
Lema 2. Si $|a|>\pi/2$, entonces la función de $f_a:\mathbb R\to\mathbb R$ es surjective.
Prueba. Suponga $a>\pi/2$. Tenemos $\pm\pi/2-a < 0$, por lo que
$$
\lim_{x\+\infty} x(\arctan x-a)
= (\pi/2-a)\lim_{x\to\infty} x = -\infty
$$
y
$$
\lim_{x\a\infty} x(\arctan x-a)
= (-\pi/2-a)\lim_{x\a\infty} x = \infty.
$$
Desde $f_a$ es continua, estos límites implica que es surjective. El caso de $a<-\pi/2$ es análogo. □
Lema 3. Si $|a|<\pi/2$, luego
$$
\lim_{x\to\pm\infty} f_a(x) = \infty.
$$
Prueba. Un cálculo directo muestra
$$
\lim_{x\to\infty} f_a(x) = (\pi/2-a)\lim_{x\to\infty}x = \infty
$$
y lo mismo vale para los $x\to-\infty$. □
La proposición. Si $|a|>\pi/2$. A continuación, $E_{a,b}$ es ilimitado.
Prueba. Desde $f_a$ es surjective por el Lema 2, para cada $y\in\mathbb R$ existe $x\in\mathbb R$ tal que $f_a(x)=-f_b(y)$. Esto significa que $(x,y)\in E_{a,b}$. Por lo tanto, el conjunto de $E_{a,b}$ es ilimitado, ya que podemos encontrar puntos arbitrarios gran $y$.
La proposición. Si $|a|=\pi/2$. A continuación, $E_{a,b}$ es ilimitado.
Prueba. Suponga $a=\pi/2$. El otro caso es análogo. Recordemos la conocida límite
$$
\lim_{x\to\infty} f_{\pi/2}(x) = \lim_{x\to\infty} x(\arctan x-\pi/2) = -1.
$$
Para cada $x$ suficientemente grande tenemos que $f_{\pi/2}(x)\leq0$, así, por el Lema 1, existe $y\in\mathbb R$ tal que $f_b(y)=-f_a(x)\in[0,\infty)$. Por lo tanto, podemos encontrar puntos de $(x,y)\in E_{\pi/2,b}$ arbitrarias gran $x$. □
La proposición. Si $|a|<\pi/2$ e $|b|<\pi/2$, a continuación, $E_{a,b}$ está acotada.
Prueba. Por el Lema 3, la función de $f_a(x)+f_b(y)$ es coercitiva, lo que significa que $f_a(x)+f_b(y)\to\infty$ si $|(x,y)|\to\infty$, por lo tanto su subnivel de conjuntos acotados. En particular, $E_{a,b}$ es limitada como consecuencia de ello. □
Corolario. $E_{a,b}$ es acotado si y sólo si $|a|<\pi/2$ e $|b|<\pi/2$.
Ahora bien, dado $a,b\in(-\pi/2,\pi/2)$, ¿cómo podemos encontrar una estimación de $\max_{(x,y)\in E_{a,b}} x^2+y^2$? Tratamos los multiplicadores de Lagrange enfoque nuevo, de manera similar a lo que hicimos aquí.
Los puntos estacionarios deben satisfacer
$$
\bigl(f'_a(x), f'_b(y)\bigr) = \lambda (x, y) \qquad \text{para algunos $\lambda\in\mathbb R$},
$$
que es equivalente a
$$
\frac1{1+x^2} + \frac{\arctan x-a}x
= \frac{f'_a(x)}{x} = \lambda
= \frac{f'_b(y)} de{y}
=\frac1{1+y^2} + \frac{\arctan y-b}y.
$$
Por desgracia, esta vez no soy capaz de encontrar una forma cerrada de la solución del sistema de ecuaciones
$$
\left\{\begin{array}{l}
f_a(x)+f_b(y)=0 , \\
\frac{f'_a(x)}x=\frac{f'_b(y)}y .
\end{array}\right.
$$
Uno puede, por supuesto, vuelven a caer en soluciones numéricas. Estoy usando Mathematica para que.
Aquí os fijar los valores de la $a=3/2$ e $b=5/4$, y luego encontrar extremal puntos numéricamente tanto con el construido-en NMaximize función y resolviendo el multiplicador de Lagrange del sistema con FindRoot. Las dos soluciones son las mismas, hasta la precisión de la máquina. Entonces me trama el conjunto $E_{a,b}$ en azul, el root locus del multiplicador de Lagrange de la ecuación en naranja, y el más pequeño ajuste círculo en color gris.
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