¿Cómo podemos encontrar un radio del círculo que contiene totalmente $x\arctan(x)-ax+y\arctan(y)-by=0$?

Question

¿Cómo podemos encontrar algunos radio del círculo con centro en el origen que contiene $x\arctan(x)-ax+y\arctan(y)-by=0$,

donde $\pi/2>a>0$ e $\pi/2>b>0$.

No estoy seguro de cómo podemos demostrar que estas desigualdades se debe sostener de modo que podemos tener curva cerrada: $\pi/2>a$ e $\pi/2>b$ .

También muy interesante similares ecuación de $x\arctan(x)-ax+(-x+y)\arctan(-x+y)-b(-x+y)+y\arctan(y)-cy=0$.

Necesito algunos aproximado de estimación para que yo pueda probar que para algunos el radio esta estimación será correcta.

Por ejemplo, he encontrado un círculo para $a=1.5$ e $b=1.5$:

Y para $x\arctan(x)-1.5x+(-x+y)\arctan(-x+y)-1.5(-x+y)+y\arctan(y)-1.5y=0$:

Tal vez multiplicadores de Lagrange puede ayudar? Yo también estoy interesado en las dimensiones superiores donde podemos agregar $z$ y encontrar un poco de radio de una esfera que contiene a$x\arctan(x)-ax+y\arctan(y)-by+z\arctan(z)-cz=0$. Pero creo que se puede hacer de manera similar para las dos dimensiones.

Answer 1

Definición. Dado $a\in\mathbb R$, definir la función de $f_a(x)=x(\arctan x-a)$.

Definición. Dado $a,b\in\mathbb R$, considerar el conjunto cerrado $$\begin{split} E_{a,b} &= \{(x,y)\in\mathbb R^2 : x(\arctan x-a)+y(\arctan y-b)=0\} \\ &= \{(x,y)\in\mathbb R^2 : f_a(x)+f_b(y)=0\} \end{split}$$

Lemma 1. For every $\in\mathbb R$, the set $[0,\infty)$ is in the image of $f_a$.

Proof. Assume $\geq0$. Then $f_a(0)=0$y $$\lim_{x\a\infty}x(\arctan x-a)=(-\pi/2-a) \lim_{x\a\infty}x=\infty.$$ Desde $f_a$ es continua, estos límites implica la tesis. El caso de $a\leq0$ es análogo, con los signos cambiados. □

Lema 2. Si $|a|>\pi/2$, entonces la función de $f_a:\mathbb R\to\mathbb R$ es surjective.

Prueba. Suponga $a>\pi/2$. Tenemos $\pm\pi/2-a < 0$, por lo que $$\lim_{x\+\infty} x(\arctan x-a) = (\pi/2-a)\lim_{x\to\infty} x = -\infty$$ y $$\lim_{x\a\infty} x(\arctan x-a) = (-\pi/2-a)\lim_{x\a\infty} x = \infty.$$ Desde $f_a$ es continua, estos límites implica que es surjective. El caso de $a<-\pi/2$ es análogo. □

Lema 3. Si $|a|<\pi/2$, luego $$\lim_{x\to\pm\infty} f_a(x) = \infty.$$

Prueba. Un cálculo directo muestra $$\lim_{x\to\infty} f_a(x) = (\pi/2-a)\lim_{x\to\infty}x = \infty$$ y lo mismo vale para los $x\to-\infty$. □

La proposición. Si $|a|>\pi/2$. A continuación, $E_{a,b}$ es ilimitado.

Prueba. Desde $f_a$ es surjective por el Lema 2, para cada $y\in\mathbb R$ existe $x\in\mathbb R$ tal que $f_a(x)=-f_b(y)$. Esto significa que $(x,y)\in E_{a,b}$. Por lo tanto, el conjunto de $E_{a,b}$ es ilimitado, ya que podemos encontrar puntos arbitrarios gran $y$.

La proposición. Si $|a|=\pi/2$. A continuación, $E_{a,b}$ es ilimitado.

Prueba. Suponga $a=\pi/2$. El otro caso es análogo. Recordemos la conocida límite $$\lim_{x\to\infty} f_{\pi/2}(x) = \lim_{x\to\infty} x(\arctan x-\pi/2) = -1.$$ Para cada $x$ suficientemente grande tenemos que $f_{\pi/2}(x)\leq0$, así, por el Lema 1, existe $y\in\mathbb R$ tal que $f_b(y)=-f_a(x)\in[0,\infty)$. Por lo tanto, podemos encontrar puntos de $(x,y)\in E_{\pi/2,b}$ arbitrarias gran $x$. □

La proposición. Si $|a|<\pi/2$ e $|b|<\pi/2$, a continuación, $E_{a,b}$ está acotada.

Prueba. Por el Lema 3, la función de $f_a(x)+f_b(y)$ es coercitiva, lo que significa que $f_a(x)+f_b(y)\to\infty$ si $|(x,y)|\to\infty$, por lo tanto su subnivel de conjuntos acotados. En particular, $E_{a,b}$ es limitada como consecuencia de ello. □

Corolario. $E_{a,b}$ es acotado si y sólo si $|a|<\pi/2$ e $|b|<\pi/2$.

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Ahora bien, dado $a,b\in(-\pi/2,\pi/2)$, ¿cómo podemos encontrar una estimación de $\max_{(x,y)\in E_{a,b}} x^2+y^2$? Tratamos los multiplicadores de Lagrange enfoque nuevo, de manera similar a lo que hicimos aquí. Los puntos estacionarios deben satisfacer $$\bigl(f'_a(x), f'_b(y)\bigr) = \lambda (x, y) \qquad \text{para algunos $\lambda\in\mathbb R$},$$ que es equivalente a $$\frac1{1+x^2} + \frac{\arctan x-a}x = \frac{f'_a(x)}{x} = \lambda = \frac{f'_b(y)} de{y} =\frac1{1+y^2} + \frac{\arctan y-b}y.$$

Por desgracia, esta vez no soy capaz de encontrar una forma cerrada de la solución del sistema de ecuaciones $$\left\{\begin{array}{l} f_a(x)+f_b(y)=0 , \\ \frac{f'_a(x)}x=\frac{f'_b(y)}y . \end{array}\right.$$

Uno puede, por supuesto, vuelven a caer en soluciones numéricas. Estoy usando Mathematica para que. Aquí os fijar los valores de la $a=3/2$ e $b=5/4$, y luego encontrar extremal puntos numéricamente tanto con el construido-en NMaximize función y resolviendo el multiplicador de Lagrange del sistema con FindRoot. Las dos soluciones son las mismas, hasta la precisión de la máquina. Entonces me trama el conjunto $E_{a,b}$ en azul, el root locus del multiplicador de Lagrange de la ecuación en naranja, y el más pequeño ajuste círculo en color gris.